공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

내분점 행렬의 역행렬

문제

수직선 위의 두 점 A(a),B(b)\mathrm{A} ( a ) , \mathrm{B} ( b )에 대하여 선분 AB\mathrm{AB}를 2:32 : 3으로 내분하는 점을 P(p)\mathrm{P} ( p ), 3:23 : 2로 내분하는 점을 Q(q)\mathrm{Q} ( q ) 라 하자. 이차정사각행렬 MM을 이용하여 M(ab)=(pq)\displaystyle M \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}로 나타낼 때, 행렬 M−1M ^{-1}의 모든 성분의 곱을 구하시오. [4점]

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해설

p=2b+3a2+3=35a+25b\displaystyle p = \frac{2 b + 3 a}{2 + 3} = \frac{3}{5} a + \frac{2}{5} b q=3b+2a3+2=25a+35b\displaystyle q = \frac{3 b + 2 a}{3 + 2} = \frac{2}{5} a + \frac{3}{5} b 따라서, (35252535)(ab)=(pq)\displaystyle \begin{pmatrix} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{2}{5} & \frac{3}{5} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}이므로 M=(35252535)\displaystyle M = \begin{pmatrix} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{2}{5} & \frac{3}{5} \end{pmatrix}이다. M−1=5(35−25−2535)=(3−2−23)\displaystyle M ^{-1} = 5 \begin{pmatrix} \frac{3}{5} & - \frac{2}{5} \\ - \frac{2}{5} & \frac{3}{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & - 2 \\ - 2 & 3 \end{pmatrix} 이므로 행렬M−1M ^{-1}의 모든 성분의 곱은 3⋅(−2)⋅(−2)⋅3=363 \cdot ( - 2 ) \cdot ( - 2 ) \cdot 3 = 36

태그

#행렬#역행렬#내분점

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