명제와 진리집합

두 조건 $p$, $q$의 진리집합을 각각 $P$, $Q$라 하자. 명제 $p \rightarrow \sim q$가 참이므로 $P \subset Q ^{C}$에서 $Q \subset P ^{C}$이다. 명제 $\sim p \rightarrow q$가 참이므로 $P ^{C} \subset Q$이다. 그러므로 $Q = P ^{C}$이다. $p : 2 x - a = 0$에서 $\displaystyle P = \left\{ \frac{a}{2} \right\}$이고, $Q = P ^{C}$에서 $\displaystyle Q = \left\{ \begin{array}{l} x \left| \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right. \end{array} \right.$$\displaystyle x \neq \frac{a}{2}$인 실수$\displaystyle \left. \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right\}$이다. 즉, 부등식 $x ^{2} - b x + 9 > 0$의 해가 $\displaystyle x \neq \frac{a}{2}$인 모든 실수이므로 이차함수 $y = x ^{2} - b x + 9$의 그래프는 $x$축에 접해야 한다. 따라서 이차방정식 $x ^{2} - b x + 9 = 0$의 판별식을 $D$라 할 때 $D = ( - b ) ^{2} - 4 \times 1 \times 9 = 0$이다. 즉, $b ^{2} = 36$이므로 양수 $b$의 값은 $\mathrm{6}$이다. 조건 $q : x ^{2} - 6 x + 9 > 0$에서 $Q = \left\{ x | x \neq 3 \right.$인 실수$\}$이고 $\displaystyle \frac{a}{2} = 3$, $a = 6$이다. 따라서 $a + b = 6 + 6 = 12$