명제의 반례

[출제의도] 명제의 참과 거짓을 판별한다. 명제 $p \rightarrow q$에 대하여 두 조건 $p$, $q$의 진리집합을 각각 $P$, $Q$라 하면 $P \not \subset Q$일 때 거짓이다. 그러므로 진리집합 $P$의 원소이지만 진리집합 $Q$의 원소가 아닌 예를 찾아야 한다. 자연수 $x$에 대하여 두 조건 ‘$p : 5 \leq x \leq 9$’, ‘$q : x \leq 8$’의 진리집합을 각각 $P$, $Q$라 하면 $P = \left\{ 5 , 6 , 7 , 8 , 9 \right\}$, $Q = \left\{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 \right\}$이다. 따라서 명제 $p \rightarrow q$가 거짓임을 보여 주는 $x$의 값은 집합 $P$에 속하지만 집합 $Q$에는 속하지 않는 원소인 $9$이다.