공통수학2명제수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

명제 조건 a 범위

문제

세 조건 pp, qq, rr가 p:x>4p : x > 4 q:x>5−aq : x > 5 - a r:(x−a)(x+a)>0r : ( x - a ) ( x + a ) > 0 일 때, 명제 p→qp \rightarrow q와 명제 q→rq \rightarrow r가 모두 참이 되도록 하는 실수 aa의 최댓값과 최솟값의 합은? [3점] ①33②72\displaystyle \frac{7}{2}③44④92\displaystyle \frac{9}{2}⑤55

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②

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해설

[출제의도] 참인 명제와 진리집합 사이의 관계를 이용하여 실수의 값을 구한다. 조건 pp, qq, rr의 진리집합을 각각 PP, QQ, RR라 하면 명제 p→qp \rightarrow q와 명제 q→rq \rightarrow r가 모두 참이므로 P⊂Q⊂RP \subset Q \subset R (i)( i ) P⊂QP \subset Q에서 5−a≤45 - a \leq 4 ∴ a≥1a \geq 1 (ii)( ii ) Q⊂RQ \subset R에서 aa는 양수이므로 R={x∣x<−aR = \left\{ x | x < - a \right. 또는 x>a}x > a \} a≤5−aa \leq 5 - a ∴ a≤52\displaystyle a \leq \frac{5}{2}

(i)( i ), (ii)( ii )에서 1≤a≤52\displaystyle 1 \leq a \leq \frac{5}{2} 따라서 실수 aa의 최댓값과 최솟값의 합은 52+1=72\displaystyle \frac{5}{2} + 1 = \frac{7}{2}

태그

#명제#진리집합

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