명제 참 순서쌍

[출제의도] 명제가 참이 되도록 하는 부분집합의 개수를 구하는 문제를 해결한다. 조건 $x ^{2} - 3 x < 0$의 진리집합을 $P$라 하면 $x \left( x - 3 \right) < 0$에서 $0 < x < 3$이므로 $P = \left\{ 1 , 2 \right\}$ 명제 ‘집합 $A$의 모든 원소 $x$에 대하여 $x ^{2} - 3 x < 0$이다.’ 가 참이 되기 위해서는 집합 $A$가 집합 $P$의 공집합이 아닌 부분집합이어야 한다. 그러므로 $A = \left\{ 1 \right\}$ 또는 $A = \left\{ 2 \right\}$ 또는 $A = \left\{ 1 , 2 \right\}$이다. 명제 ‘집합 $B$의 어떤 원소 $x$에 대하여 $x {\in} A$이다.’ 가 참이 되기 위해서는 $A \cap B \ne \emptyset$이어야 한다. (ⅰ) $A = \left\{ 1 \right\}$인 경우 집합 $B$는 $1$을 원소로 갖는 집합 $U$의 부분집합이므로 집합 $B$의 개수는 $2 ^{3} = 8$ (ⅱ) $A = \left\{ 2 \right\}$인 경우 집합 $B$는 $2$를 원소로 갖는 집합 $U$의 부분집합이므로 집합 $B$의 개수는 $2 ^{3} = 8$ (ⅲ) $A = \left\{ 1 , 2 \right\}$인 경우 집합 $B$는 $1$ 또는 $2$를 원소로 갖는 집합 $U$의부분집합이다. ⅲ-가) $1$을 원소로 갖고, $2$를 원소로 갖지 않는 집합 $B$의 개수는 $2 ^{2} = 4$ ⅲ-나) $2$를 원소로 갖고, $1$을 원소로 갖지 않는 집합 $B$의 개수는 $2 ^{2} = 4$ ⅲ-다) $1$, $2$를 모두 원소로 갖는 집합 $B$의 개수는 $2 ^{2} = 4$ 따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 구하는 순서쌍 $\left( A , B \right)$의 개수는 $8 + 8 + ( 4 + 4 + 4 ) = 28$