멱영행렬 증명 빈칸

[출제의도] 행렬의 역행렬과 거듭제곱을 이용하여 행렬의 성질을 증명한다. $\displaystyle A = {\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}$를 $T$의 원소라 하면 어떤 자연수 $n$에 대하여 $A ^{n} = O$ $\cdots$(*) 이다. (ⅰ) $n \leq 2$일 때, $A \in S$이다. (ⅱ) $n \geq 3$일 때, $A$가 역행렬을 갖는다고 하자. (*)의 양변에 $\left( A ^{- 1} \right) ^{n - 1}$을 곱하면 $A = O$ 그런데 영행렬 $O$는 역행렬을 갖지 않으므로 모순이다. 그러므로 $A$의 역행렬이 존재하지 않는다. 따라서 $ad - bc = 0$ 이다. 이때, $A ^{2}$$\displaystyle = {\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}$ $\displaystyle = {\begin{pmatrix} a ^{2} + bc & ab + bd \\ ac + cd & bc + d ^{2} \end{pmatrix}}$ $\displaystyle = {\begin{pmatrix} a ^{2} + ad & ab + bd \\ ac + cd & ad + d ^{2} \end{pmatrix}}$ $\displaystyle = ( a + d ) {\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}$ $= ( a + d ) A$ 그러므로 $A ^{n} = A ^{2} A ^{n - 2}$ $= ( a + d ) A A ^{n - 2}$$= ( a + d ) A ^{n - 1}$ $= ( a + d ) A ^{2} A ^{n - 3}$$= ( a + d ) ( a + d ) A A ^{n - 3}$ $= ( a + d ) ^{2} A ^{n - 2} = \cdots = ( a + d ) ^{n - 1} A$에서 $A ^{n} =$$( a + d ) ^{n - 1}$ $A$이다. 또, $A ^{n} = O$이므로 $a + d = 0$이다. 따라서 $A ^{2} = ( a + d ) A = O$이므로 $A \in S$이다. $\therefore$$T \subset S$ 한편, $S$의 원소는 모두 $T$의 원소이므로 $S \subset T$이다. $\therefore$$S = T$