공통수학1행렬과 그 연산수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

멱등행렬 집합 보기

문제

이차정사각행렬 전체의 집합 UU에 대하여 집합 X={A∣A2=A,A∈U}X = \{ A | A ^{2} = A , A \in U \}일 때, 옳은 것을 <보기>에서 모두 고르면? (단, EE는 단위행렬이고, nn은 자연수이다.) [4점]

< 보 기 >
ㄱ. A∈XA \in X이면 An∈XA ^{n} \in X이다. ㄴ. A∈XA \in X이면 (E−A)n∈X( E - A ) ^{n} \in X이다. ㄷ. A∈XA \in X, B∈XB \in X이면 AB∈XAB \in X이다.

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 보기
③

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해설

[출제의도] 행렬의 거듭제곱의 성질 이해하기 ㄱ. (An)2=(A2)n=An( A ^{n} ) ^{2} = ( A ^{2} ) ^{n} = A ^{n} ∴An∈X\therefore A ^{n} \in X ㄴ. {(E−A)n}2={(E−A)2}n\{ ( E - A ) ^{n} \} ^{2} = \{ ( E - A ) ^{2} \} ^{n} =(E−2A+A2)n= ( E - 2 A + A ^{2} ) ^{n} =(E−A)n= ( E - A ) ^{n} ∴(E−A)n∈X\therefore ( E - A ) ^{n} \in X ㄷ.(반례) A=(36−1−2),B=(31−62)\displaystyle A = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ - 1 & - 2 \end{pmatrix} , B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ - 6 & 2 \end{pmatrix}일 때, AB=(−27−993)≠(AB)2\displaystyle AB = \begin{pmatrix} - 27 & - 9 \\ 9 & 3 \end{pmatrix} \ne ( AB ) ^{2} ∴AB∉X\therefore AB \notin X

태그

#행렬#반례

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