무리수를 근으로 갖는 삼차식의 계수

$\displaystyle x = 1 + \sqrt{5}$에서 $\displaystyle x ^{2} = 6 + 2 \sqrt{5}$ $\displaystyle x ^{3} = x \cdot x ^{2} = ( 1 + \sqrt{5} ) ( 6 + 2 \sqrt{5} ) = 16 + 8 \sqrt{5}$ $\displaystyle x ^{3} + ax + b = ( 16 + 8 \sqrt{5} ) + a ( 1 + \sqrt{5} ) + b$ $\displaystyle = ( 16 + a + b ) + ( 8 + a ) \sqrt{5} = 0$ $a$, $b$가 유리수이므로 $8 + a = 0$, $16 + a + b = 0$ 따라서 $a = - 8$, $b = - 8$이고 $ab = 64$ ④