공통수학2명제수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

무리수 증명 빈칸

문제

다음은 nn 이 자연수일 때, n(n+1)\displaystyle \sqrt{n ( n + 1 )}은 유리수가 아님 을 증명한 것이다. [증명] n(n+1)\displaystyle \sqrt{n ( n + 1 )}이 유리수라면 n(n+1)=ab\displaystyle \sqrt{n ( n + 1 )} = \frac{a}{b}(a,ba , b는 서로소인 자연수)로 놓을 수 있다. 양변을 제곱하면 n(n+1)=a2b2\displaystyle n ( n + 1 ) = \frac{a ^{2}}{b ^{2}} ․․․․․․․․․ ㉠ 그런데 이 식의 좌변은 자연수이고, aa와 bb는 서로소이므로 b2=b ^{2} = (가)

․․․․․․․․․ ㉡ ㉡을 ㉠에 대입하여 변형하면 4n2+4n=4a24 n ^{2} + 4 n = 4 a ^{2} (2n+1)2−4a2=( 2 n + 1 ) ^{2} - 4 a ^{2} = (나)

(2n+1+2a)(2n+1−2a)=( 2 n + 1 + 2 a ) ( 2 n + 1 - 2 a ) = (나)

따라서 2n+1+2a,2n+1−2a2 n + 1 + 2 a , 2 n + 1 - 2 a는 (다)

이 때, 어느 경우에나 모순이므로 n(n+1)\displaystyle \sqrt{n ( n + 1 )}은 유리수가 아니다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점] (가) (나) (다) ①22 44 모두 22이거나 모두 −2- 2이다.②22 44 모두 11이거나 모두 −1- 1이다.③11 22 모두 11이거나 모두 −1- 1이다.④11 11 모두 22이거나 모두 −2- 2이다.⑤11 11 모두 11이거나 모두 −1- 1이다.

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⑤

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해설

[출제의도] 정수의 성질을 이용한 증명 과정을 이해할 수 있다. n(n+1)\displaystyle \sqrt{n ( n + 1 )}이 유리수라면 n(n+1)=ab\displaystyle \sqrt{n ( n + 1 )} = \frac{a}{b}(a,ba , b는 서로 소인 자연수 )로 놓을 수 있다. 양변을 제곱하면n(n+1)=a2b2\displaystyle n ( n + 1 ) = \frac{a ^{2}}{b ^{2}} ․․․․․․㉠ 그런데 이 식의 좌변은 자연수이므로 우변도 자연수이어야 한다. aa와 bb는 서로소이므로 b2=b ^{2} = 11

․․․․․․㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면 n(n+1)=a2n ( n + 1 ) = a ^{2} 양변에 44를 곱하여 정리하면 4n2+4n=4a24 n ^{2} + 4 n = 4 a ^{2} (2n+1)2−4a2=( 2 n + 1 ) ^{2} - 4 a ^{2} = 11

(2n+1+2a)(2n+1−2a)=( 2 n + 1 + 2 a ) ( 2 n + 1 - 2 a ) = 11

따라서 2n+1+2a,2n+1−2a2 n + 1 + 2 a , 2 n + 1 - 2 a는 모두 11이거나 모두 −1- 1이다.

이 때, 어느 경우에나 모순이므로 n(n+1)\displaystyle \sqrt{n ( n + 1 )}은 유리수가 아니다.

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#귀류법#증명#빈칸 채우기

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