공통수학2명제수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

무리수 증명

문제

다음은 자연수 $n$ 에 대하여 $\displaystyle \sqrt{n ^{2} + 1}$ 이 무리수임을 증명한 것이다.

증명		〈 증명 〉
증명
	$\displaystyle \sqrt{n ^{2} + 1}$ 이 (가) $\displaystyle \sqrt{n ^{2} + 1} = \frac{q}{p}$ ( $p , q$ 는 서로소인 자연수)이다. $p ^{2} ( n ^{2} + 1 ) = q ^{2}$ 이므로 $q ^{2}$ 은 $p$ 로 나누어 떨어진다. $p , q$ 는 서로소이므로 $p =$ (나) ∴ $n ^{2} = q ^{2} - 1$ 여기에서 $q > 1$ 이므로 자연수 $k$ 에 대하여 (ⅰ) $q = 2 k$ 일 때, $( 2 k - 1 ) ^{2} < n ^{2} <$ (다) (ⅱ) $q = 2 k + 1$ 일 때, (다) (ⅰ)과 (ⅱ)에 의하여 $1$ 보다 큰 자연수 $q$ 는 존재하지 않는다. 따라서 $\displaystyle \sqrt{n ^{2} + 1}$ 이 (가) 그러므로 $\displaystyle \sqrt{n ^{2} + 1}$ 은 무리수이다.

이 증명에서 (가)~(다)에 알맞은 것을 바루게 짝지은 것은 [4점] (가) (나) (다) ①유리수 $1$ $4 k ^{2}$ ②유리수 $1$ $4 k ^{2} - 1$ ③유리수 $2$ $4 k ^{2} - 1$ ④무리수 $1$ $4 k ^{2} - 1$ ⑤무리수 $2$ $4 k ^{2}$

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①

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해설

[출제의도] 귀류법을 이용하여 무리수 증명하기 $\displaystyle \sqrt{n ^{2} + 1}$ 이 유리수 라고 가정하면 $\displaystyle \sqrt{n ^{2} + 1} = \frac{q}{p}$ ( $p , q$ 는 서로소인 자연수)이다. $p ^{2} ( n ^{2} + 1 ) = q ^{2}$ 이므로 $q ^{2}$ 은 $p$ 로 나누어 떨어진다. $p , q$ 는 서로소이므로 $p =$ 이다. ∴ $n ^{2} = q ^{2} - 1$ 여기에서 $q > 1$ 이므로 자연수 $k$ 에 대하여 (ⅰ) $q = 2 k$ 일 때, $( 2 k - 1 ) ^{2} < n ^{2} <$ $4 k ^{2}$ 을 만족하는 자연수 $n$ 이 존재하지 않고 (ⅱ) $q = 2 k + 1$ 일 때, $4 k ^{2}$ $< n ^{2} < ( 2 k + 1 ) ^{2}$ 을 만족하는 자연수 $n$ 이 존재하지 않는다. (ⅰ)과 (ⅱ)에 의하여 $1$ 보다 큰 자연수 $q$ 는 존재하지 않는다. 따라서 $\displaystyle \sqrt{n ^{2} + 1}$ 이 유리수 라는 가정에 모순이다. 그러므로 $\displaystyle \sqrt{n ^{2} + 1}$ 은 무리수이다.

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