무리수 귀류법 빈칸

[출제의도] 수의 성질을 이용하여 무리식에 관한 증명을 완성한다. $p ^{2} ( n ^{2} - 1 ) = q ^{2}$에서 $q ^{2}$이 $p$의 배수이므로 $\displaystyle \frac{q ^{2}}{p}$은 자연수이다. $p$가 $1$이 아닌 자연수이면 $p , q$가 서로소이므로 $\displaystyle \frac{q ^{2}}{p}$은 자연수가 아니다. 그러므로 $p = 1$ $p ^{2} ( n ^{2} - 1 ) = q ^{2}$에 $p = 1$을 대입하면 $n ^{2} - 1 = q ^{2}$ 즉, $n ^{2} =$ $q ^{2} + 1$

∴ $f ( q ) = q ^{2} + 1$ $n \geq 2$이고 $q ^{2} = n ^{2} - 1 \geq 2 ^{2} - 1 = 4 - 1 = 3$ 그러므로 $q ^{2} \geq 3$에서 $q > 1$ 자연수 $k$에 대하여 (ⅰ) $q = 2 k$일 때 $n ^{2} = ( 2 k ) ^{2} + 1$이므로 $( 2 k ) ^{2} < n ^{2} <$ $( 2 k + 1 ) ^{2}$

즉, $2 k < n < 2 k + 1$을 만족하는 자연수 $n$은 존재하지 않는다. (ⅱ) $q = 2 k + 1$일 때 $n ^{2} = ( 2 k + 1 ) ^{2} + 1$이므로 $( 2 k + 1 ) ^{2}$ $< n ^{2} < ( 2 k + 2 ) ^{2}$ ∴ $g ( k ) = ( 2 k + 1 ) ^{2}$ 즉, $2 k + 1 < n < 2 k + 2$를 만족하는 자연수 $n$은 존재하지 않는다. (ⅰ)과 (ⅱ)에 의하여 $\displaystyle \sqrt{n ^{2} - 1} = \frac{q}{p}$($p , q$는 서로소인 자연수)를 만족하는 자연수 $n$은 존재하지 않는다. 따라서 $\displaystyle \sqrt{n ^{2} - 1}$은 무리수이다. 이상에 의해서 $f ( 2 ) + g ( 3 ) ^{2} = 5 + 49 = 54$