무리수 근의 이차방정식

[출제의도] 실수의 성질을 이용하여 이차방정식 문제해결하기 $\displaystyle 2 + \sqrt{3}$은 방정식 $\displaystyle a x ^{2} + \sqrt{3} b x + c = 0$의 한 근이므로 $\displaystyle a \left( 2 + \sqrt{3} \right) ^{2} + \sqrt{3} b \left( 2 + \sqrt{3} \right) + c = 0$이다. 정리하면 $\displaystyle \left( 7 a + 3 b + c \right) + \left( 4 a + 2 b \right) \sqrt{3} = 0$이고 $a$, $b$, $c$가 유리수이므로 $7 a + 3 b + c = 0$, $4 a + 2 b = 0$이다. 따라서 $b = - 2 a$, $c = - a$이다. 그러므로 주어진 방정식은 $\displaystyle a \left( x ^{2} - 2 \sqrt{3} x - 1 \right) = 0$이고 이 이차방정식의 두 근은 $\displaystyle x = \sqrt{3} \pm 2$이다. 따라서 $\displaystyle \beta = - 2 + \sqrt{3}$이므로 $\displaystyle a + \frac{1}{\beta} = 2 + \sqrt{3} + \frac{1}{- 2 + \sqrt{3}} = 0$이다. [다른 풀이1] $\displaystyle t = \sqrt{3} x$라 두면 주어진 방정식은 $\displaystyle \frac{a}{3} t ^{2} + bt + c = 0$ 즉, $at ^{2} + 3 bt + 3 c = 0$이다. 이 방정식은 한 근이 $\displaystyle t = \sqrt{3} ( 2 + \sqrt{3} )$$\displaystyle = 3 + 2 \sqrt{3}$ 이고 계수가 모두 유리수이므로 다른 한 근은 $\displaystyle t = 3 - 2 \sqrt{3}$이다. 따라서 주어진 방정식의 다른 한 근 $\displaystyle \beta = \frac{t}{\sqrt{3}}$$\displaystyle = \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$\displaystyle = - 2 + \sqrt{3}$이므로 $\displaystyle a + \frac{1}{\beta} = 2 + \sqrt{3} + \frac{1}{- 2 + \sqrt{3}} = 0$이다. [다른 풀이2] $\displaystyle \alpha = 2 + \sqrt{3}$에서 $\displaystyle \alpha - \sqrt{3} = 2$이고 양변을 제곱하여 정리하면 $\displaystyle \alpha ^{2} - 2 \sqrt{3} \alpha - 1 = 0$이다. 따라서 $\alpha$는 이차방정식 $\displaystyle a ( x ^{2} - 2 \sqrt{3} x - 1 ) = 0$의 근이다. 근과 계수의 관계에 의해 $\displaystyle 2 + \sqrt{3} + \beta = 2 \sqrt{3}$이므로 $\displaystyle \beta = - 2 + \sqrt{3}$이다. 따라서 $\displaystyle a + \frac{1}{\beta} = 2 + \sqrt{3} + \frac{1}{- 2 + \sqrt{3}} = 0$이다. <참고> 아래와 같은 방법으로 풀 수도 있다. 두 유리수 $p$, $q$에 대하여 $\displaystyle {\overline{p + q \sqrt{3}}} = p - q \sqrt{3}$이라 하자. $\displaystyle f ( x ) = ax ^{2} + \sqrt{3} b x + c$이라 하고 $\displaystyle \alpha = 2 + \sqrt{3}$이라 하면 $f ( \alpha ) = 0$이다. 즉, $\displaystyle a \alpha ^{2} + \sqrt{3} b \alpha + c = 0$이다. $\displaystyle {\overline{a \alpha ^{2} + \sqrt{3} b \alpha + c}} = {\overline{0}}$ $\displaystyle {\overline{a \alpha ^{2}}} + {\overline{\sqrt{3} b \alpha}} + {\overline{c}} = {\overline{0}}$ $\displaystyle {\overline{a}} {\overline{\alpha}} ^{2} + {\overline{\sqrt{3}}} {\overline{b}} {\overline{\alpha}} + {\overline{c}} = {\overline{0}}$ $\displaystyle a {\overline{\alpha}} ^{2} - \sqrt{3} b {\overline{\alpha}} + c = 0$ $\displaystyle a \left( - {\overline{\alpha}} \right) ^{2} + \sqrt{3} b \left( - {\overline{\alpha}} \right) + c = 0$ 이므로 $\displaystyle f ( - {\overline{\alpha}} ) = 0$이다. 따라서 $\displaystyle - {\overline{\alpha}} = - \left( 2 - \sqrt{3} \right)$$\displaystyle = - 2 + \sqrt{3}$ 은 이 방정식의 다른 한 근이다. 따라서 $\displaystyle \beta = \sqrt{3} - 2$이므로 $\displaystyle a + \frac{1}{\beta} = 2 + \sqrt{3} + \frac{1}{- 2 + \sqrt{3}} = 0$이다.