공통수학1복소수AI기본 문제 (3점 중반)

무리수 근을 대입하여 계수 구하기

문제

$\displaystyle x = 2 + \sqrt{3}$ 이 $x$ 에 대한 이차방정식 $x ^{2} + ax + b = 0$ 의 근일 때, 유리수 $a$ , $b$ 에 대하여 $b - a$ 의 값을 구하시오. [3점]

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해설

$\displaystyle x = 2 + \sqrt{3}$ 을 대입하면 $\displaystyle ( 2 + \sqrt{3} ) ^{2} + a ( 2 + \sqrt{3} ) + b = 0$ $\displaystyle ( 2 + \sqrt{3} ) ^{2} = 7 + 4 \sqrt{3}$ 이므로 $\displaystyle ( 7 + 2 a + b ) + ( 4 + a ) \sqrt{3} = 0$ $a$ , $b$ 가 유리수이므로 무리수가 서로 같을 조건에 의하여 $7 + 2 a + b = 0$ , $4 + a = 0$ $a = - 4$ , $b = 1$ 따라서 $b - a = 5$

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