무리식 합의 최댓값

[출제의도] 이차함수의 최댓값을 이용하여 무리식의 최댓값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. 주어진 식은 $\displaystyle \left( \sqrt{17 - 2 x} + \sqrt{11 - 4 y} \right) ^{2}$ $\displaystyle = 17 - 2 x + 11 - 4 y + 2 \sqrt{17 - 2 x} \sqrt{11 - 4 y}$ 이 식을 정리하면 $\displaystyle 28 - 2 ( x + 2 y ) + 2 \sqrt{( 17 - 2 x ) ( 11 - 4 y )}$ …… ㉠ $x + 2 y = 5$에서 $2 y = 5 - x$이므로 ㉠은 $\displaystyle 18 + 2 \sqrt{( 17 - 2 x ) ( 1 + 2 x )}$ $\displaystyle = 18 + 2 \sqrt{- 4 x ^{2} + 32 x + 17}$ $\displaystyle = 18 + 2 \sqrt{- 4 ( x - 4 ) ^{2} + 81}$ …… ㉡ ${- 4 ( x - 4 ) ^{2} + 81}$은 $x = 4$일 때, 최댓값 $81$을 갖는다. 따라서 ㉡의 최댓값은 $\displaystyle 18 + 2 \sqrt{81} = 36$이다. [참고] $x + 2 y = 5$에서 $2 y = 5 - x$이므로 $\displaystyle \sqrt{17 - 2 x} + \sqrt{11 - 4 y} = \sqrt{17 - 2 x} + \sqrt{1 + 2 x}$ $\displaystyle f ( x ) = \sqrt{17 - 2 x}$, $\displaystyle g ( x ) = \sqrt{1 + 2 x}$라 하자. $\displaystyle - \frac{1}{2} \leq x \leq \frac{17}{2}$에서 $y = f ( x )$, $y = g ( x )$의 그래프는 다음과 같다.

$y = f ( x ) + g ( x )$의 그래프는 직선 $x = 4$에 대하여 대칭이고 위로 볼록이므로 $y = f ( x ) + g ( x )$는 $x = 4$일 때 최댓값 $f ( 4 ) + g ( 4 ) = 6$을 갖는다. 따라서 구하는 값은 $6 ^{2} = 36$이다.