무리식 치환적분

$\displaystyle \int _{1} ^{\sqrt{2}} {x ^{3}} \sqrt{x ^{2} - 1} dx$에서 $\displaystyle \sqrt{x ^{2} - 1} = t$라 하자. 양변을 $x$에 대해 미분하면 $\displaystyle \frac{2 x}{2 \sqrt{x ^{2} - 1}} = \frac{dt}{dx}$이고 $x ^{2} = t ^{2} + 1$ 이므로 $\displaystyle \int _{0} ^{1} {( t ^{2} + 1 ) t ^{2}} dt = \int _{0} ^{1} {( t ^{4} + t ^{2} )} dt = \frac{1}{5} + \frac{1}{3} = \frac{8}{15}$