무리식 분모 유리화 합

[출제의도] 무리함수의 성질을 이용하여 수열의 합 문제 해결하기 $\displaystyle a _{n} = 2 \sqrt{n} - \sqrt{n} = \sqrt{n}$이므로 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{80} \frac{1}{\left( n + 1 \right) a _{n} + na _{n + 1}} = \sum\limits _{n = 1} ^{80} \frac{1}{\left( n + 1 \right) \sqrt{n} + n \sqrt{n + 1}}$ $\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{80} \frac{\left( n + 1 \right) \sqrt{n} - n \sqrt{n + 1}}{\left( n + 1 \right) ^{2} n - n ^{2} \left( n + 1 \right)}$$\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{80} \frac{\left( n + 1 \right) \sqrt{n} - n \sqrt{n + 1}}{n \left( n + 1 \right)}$ $\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{80} \left( \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}} \right)$ $\displaystyle = \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \right) + \left( \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{3}} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{\sqrt{80}} - \frac{1}{\sqrt{81}} \right)$ $\displaystyle = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$ 이다. 따라서 $p + q = 8 + 9 = 17$이다.