무리함수와 역함수로 정의된 함수

[출제의도] 무리함수의 역함수의 그래프를 이용하여 교점의 개수를 구하는 문제를 해결한다. $\displaystyle f ( x ) = \sqrt{ax - 3} + 2$$\displaystyle \left( x \geq \frac{3}{a} \right)$에서 $\displaystyle f ^{- 1} \left( x \right) = \frac{1}{a} \left( x - 2 \right) ^{2} + \frac{3}{a}$$\left( x \geq 2 \right)$이므로 함수 $y = f ( x )$의 그래프와 함수 $y = f ^{- 1} \left( x \right)$의 그래프의 개형은 [그림 1]과 같다.

[그림 1]

함수 $\displaystyle g ( x ) = {\begin{cases} f ( x ) _{{} _{\begin{matrix} \\ \end{matrix}}} & \left( f ( x ) < f ^{- 1} ( x ) \text{인} \text{경우} \right) _{{} _{\begin{matrix} \\ \end{matrix}}} \\ f ^{- 1} ( x ) _{} & \left( f ( x ) \geq f ^{- 1} ( x ) \text{인} \text{경우} \right) _{} \end{cases}}$는 $x \geq 2$인 실수 $x$에 대하여 $f ( x )$와 $f ^{- 1} ( x )$ 중 크지 않은 값이므로 함수 $y = g ( x )$의 그래프의 개형은 [그림 2]와 같다.

[그림 2]

$f ( x ) < f ^{- 1} ( x )$인 경우, 자연수 $n$에 대하여 함수 $y = f ( x )$의 그래프와 직선 $y = x - n$이 만나는 서로 다른 점의 개수는 항상 $1$이다. 따라서 $f ( x ) \geq f ^{- 1} ( x )$일 때 함수 $y = f ^{- 1} ( x )$의 그래프와 직선 $y = x - n$이 만나는 서로 다른 점의 개수와 이에 따른 $h ( n )$은 다음과 같다. (ⅰ) 교점의 개수가 $1$인 경우 [그림 3]과 같이 직선 $y = x - n$이 함수 $y = f ^{- 1} ( x )$의 그래프에 접하는 경우

[그림 3]

$\displaystyle \frac{1}{a} \left( x - 2 \right) ^{2} + \frac{3}{a} = x - n$에서 $\left( x - 2 \right) ^{2} + 3 = ax - an$ $x ^{2} - \left( a + 4 \right) x + an + 7 = 0$ $x$에 대한 이차방정식 $x ^{2} - \left( a + 4 \right) x + an + 7 = 0$의 판별식을 $D$라 하면 $D = \left\{ - \left( a + 4 \right) \right\} ^{2} - 4 \left( an + 7 \right)$$= 0$ $a ^{2} + 8 a - 12 - 4 an = 0$ 이므로 $\displaystyle n = 2 - \frac{3}{a} + \frac{a}{4}$ [그림 4]와 같이 함수 $y = f ^{- 1} ( x )$의 그래프 위의 점 $\displaystyle \left( 2 , \frac{3}{a} \right)$이 직선 $y = x - n$의 아랫부분에 있는 경우

[그림 4]

$x$좌표가 $2$일 때 직선 $y = x - n$의 $y$좌표인 $2 - n$이 $\displaystyle f ^{- 1} ( 2 ) = \frac{3}{a}$보다 크므로 $\displaystyle \frac{3}{a} < 2 - n$ $\displaystyle n < 2 - \frac{3}{a}$ 따라서 함수 $y = f ^{- 1} ( x )$의 그래프와 직선 $y = x - n$이 만나는 서로 다른 점의 개수가 $1$인 자연수 $n$의 값의 범위는 $\displaystyle n = 2 - \frac{3}{a} + \frac{a}{4}$ 또는 $\displaystyle n < 2 - \frac{3}{a}$ 이고 이때 $h ( n ) = 2$이다. (ⅱ) 교점의 개수가 $2$인 경우 [그림 5]와 같이 직선 $y = x - n$이 함수 $y = f ^{- 1} ( x )$의 그래프에 접하고 기울기가 $1$인 직선의 윗부분에 있고, 직선 $y = x - n$이 함수 $y = f ^{- 1} ( x )$의 그래프 위의 점 $\displaystyle \left( 2 , \frac{3}{a} \right)$을 지나거나 점 $\displaystyle \left( 2 , \frac{3}{a} \right)$이 직선 $y = x - n$의 윗부분에 있는 경우이다.

[그림 5]

함수 $y = f ^{- 1} ( x )$의 그래프에 접하고 기울기가 $1$인 직선 $\displaystyle y = x - 2 + \frac{3}{a} - \frac{a}{4}$의 $y$절편인 $\displaystyle - 2 + \frac{3}{a} - \frac{a}{4}$가 직선 $y = x - n$의 $y$절편인 $- n$보다 작으므로 $\displaystyle - n > - 2 + \frac{3}{a} - \frac{a}{4}$ $\displaystyle n < 2 - \frac{3}{a} + \frac{a}{4}$ 직선 $y = x - n$이 함수 $y = f ^{- 1} ( x )$의 그래프 위의 점 $\displaystyle \left( 2 , \frac{3}{a} \right)$을 지나면 $\displaystyle \frac{3}{a} = 2 - n$ $\displaystyle n = 2 - \frac{3}{a}$ 점 $\displaystyle \left( 2 , \frac{3}{a} \right)$이 직선 $y = x - n$의 윗부분에 있는 경우는 $x$좌표가 $2$일 때 직선 $y = x - n$의 $y$좌표인 $2 - n$이 $\displaystyle f ^{- 1} ( 2 ) = \frac{3}{a}$보다 작으므로 $\displaystyle \frac{3}{a} > 2 - n$ $\displaystyle n > 2 - \frac{3}{a}$ 따라서 함수 $y = f ^{- 1} ( x )$의 그래프와 직선 $y = x - n$이 만나는 서로 다른 점의 개수가 $2$인 자연수 $n$의 값의 범위는 $\displaystyle 2 - \frac{3}{a} \leq n < 2 - \frac{3}{a} + \frac{a}{4}$ 이고 이때 $h \left( n \right) = 3$이다. (ⅲ) 교점이 없는 경우 [그림 6]과 같이 직선 $y = x - n$이 함수 $y = f ^{- 1} ( x )$의 그래프에 접하고 기울기가 $1$인 직선의 아랫부분에 있는 경우이다.

[그림 6]

함수 $y = f ^{- 1} ( x )$의 그래프에 접하고 기울기가 $1$인 직선 $\displaystyle y = x - 2 + \frac{3}{a} - \frac{a}{4}$의 $y$절편인 $\displaystyle - 2 + \frac{3}{a} - \frac{a}{4}$가 직선 $y = x - n$의 $y$절편인 $- n$보다 크므로 $\displaystyle - n < \mathit{-} 2 + \frac{3}{a} - \frac{a}{4}$ $\displaystyle n > 2 - \frac{3}{a} + \frac{a}{4}$ 따라서 함수 $y = f ^{- 1} ( x )$의 그래프와 직선 $y = x - n$이 만나는 점이 없는 자연수 $n$의 값의 범위는 $\displaystyle n > 2 - \frac{3}{a} + \frac{a}{4}$ 이고 이때 $h ( n ) = 1$이다. (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 $\displaystyle h ( n ) = {\begin{cases} 2 & & \left( 0 < n < 2 - \frac{3}{a} \right) \\ 3 & & \left( 2 - \frac{3}{a} \leq n < 2 - \frac{3}{a} + \frac{a}{4} \right) \\ 2 & & \left( n = 2 - \frac{3}{a} + \frac{a}{4} \right) \\ 1 & & \left( n > 2 - \frac{3}{a} + \frac{a}{4} \right) \end{cases}}$ $h ( 1 ) = h ( 3 ) < h ( 2 )$를 만족시키려면 $h ( 1 ) = 2$, $h ( 3 ) = 2$, $h ( 2 ) = 3$이어야 한다. 즉 $\displaystyle 0 < 1 < 2 - \frac{3}{a}$ $\cdots \cdots$ ㉠ $\displaystyle 2 - \frac{3}{a} \leq 2 < 2 - \frac{3}{a} + \frac{a}{4}$ $\cdots \cdots$ ㉡ $\displaystyle 3 = 2 - \frac{3}{a} + \frac{a}{4}$ $\cdots \cdots$ ㉢ ㉢에서 $\displaystyle \frac{a}{4} - \frac{3}{a} - 1 = 0$ $a ^{2} - 4 a - 12 = 0$ $\left( a + 2 \right) \left( a - 6 \right) = 0$ $a = \mathit{-} 2$ 또는 $a = 6$ 이때 $\displaystyle a \geq \frac{3}{2}$이므로 $a = 6$ $a = 6$을 ㉠에 대입하면 $\displaystyle 0 < 1 < 2 - \frac{3}{6} = \frac{3}{2}$ 이므로 ㉠을 만족시키고, $a = 6$을 ㉡에 대입하면 $\displaystyle 2 - \frac{3}{6} \leq 2 < 2 - \frac{3}{6} + \frac{6}{4}$ $\displaystyle \frac{3}{2} \leq 2 < 3$ 이므로 ㉡을 만족시킨다. 따라서 조건을 만족시키는 함수 $g ( x )$는 $a = 6$일 때인 $\displaystyle g ( x ) = {\begin{cases} \sqrt{6 x - 3} + 2 _{{} _{\begin{matrix} \\ \end{matrix}}} & & \left( f ( x ) < f ^{- 1} ( x ) \text{인} \text{경우} \right) _{{} _{\begin{matrix} \\ \end{matrix}}} \\ \frac{1}{6} ( x - 2 ) ^{2} + \frac{1}{2 _{}} & & \left( f ( x ) \geq f ^{- 1} ( x ) \text{인} \text{경우} \right) _{} \end{cases}}$ 이고, 이때 함수 $y = g ( x )$의 그래프는 [그림 7]과 같다.

[그림 7]

[그림 8]과 같이 함수 $y = g ( x )$의 그래프와 직선 $y = x$의 교점의 $x$좌표를 $k$라 하면

[그림 8]

$\displaystyle \frac{1}{6} \left( k - 2 \right) ^{2} + \frac{1}{2} = k$ $k ^{2} - 4 k + 7 = 6 k$ $k ^{2} - 10 k + 7 = 0$ $k > 2$이므로 $\displaystyle k = 5 + 3 \sqrt{2}$ 따라서 함수 $g ( x )$는 $\displaystyle g ( x ) = {\begin{cases} \sqrt{6 x - 3} + 2 _{{} _{\begin{matrix} \\ \end{matrix}}} & \left( x > 5 + 3 \sqrt{2} \right) _{{} _{\begin{matrix} \\ \end{matrix}}} \\ \frac{1}{6} ( x - 2 ) ^{2} + \frac{1}{2 _{}} & \left( 2 {\leq} x \leq 5 + 3 \sqrt{2} \right) _{} \end{cases}}$ 이므로 $g ( 4 )$$\displaystyle = \frac{1}{6} \left( 4 - 2 \right) ^{2} + \frac{1}{2}$$\displaystyle = \frac{7}{6}$ 따라서 $p = 6$, $q = 7$이므로 $p + q = 13$