무리함수와 역함수 빈칸

[출제의도] 무리함수를 이용하여 추론하기 점 ${\mathrm{P}}$의 $y$좌표를 $a \left( a \geq 0 \right)$이라 하면 $\displaystyle \sqrt{x - 2} = a$에서 $x = a ^{2} + 2$ 점 ${\mathrm{P}}$의 좌표는 $\left( \square {a ^{2} + 2} , a \right)$이다. 두 곡선 $y = f ( x )$와 $y = f ^{- 1} ( x )$는 직선 $y = x$에 대하여 서로 대칭이고 두 직선 $l$과 $y = x$는 서로 수직이므로 두 점 ${\mathrm{P}}$와 ${\mathrm{Q}}$는 직선 $y = x$에 대하여 서로 대칭이다. 그러므로 삼각형 ${\mathrm{OPQ}}$의 외접원의 중심을 ${\mathrm{C}}$라 하면 점 ${\mathrm{C}}$는 직선 $y = x$ 위에 있다. 점 ${\mathrm{C}}$의 좌표를 $\left( k , k \right) \left( k > 0 \right)$이라 하면 삼각형 ${\mathrm{OPQ}}$의 외접원의 반지름의 길이는 $\displaystyle \overline{{\mathrm{CO}}} = \sqrt{2} k$이고 삼각형 ${\mathrm{OPQ}}$의 외접원의 넓이는 $2 k ^{2} \pi$이다. 삼각형 ${\mathrm{OPQ}}$의 외접원의 넓이가 $\displaystyle \frac{25}{2} \pi$일 때, $\displaystyle 2 k ^{2} \pi = \frac{25}{2} \pi$에서 $\displaystyle k = \frac{5}{2}$이므로 점 ${\mathrm{C}}$의 좌표는 $\displaystyle \left( \square {\frac{5}{2}} , \square {\frac{5}{2}} \right)$이고, $\displaystyle {\overline{\mathrm{CP}}} = {\overline{\mathrm{CO}}}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{CP}}} ^{2} = {\overline{\mathrm{CO}}} ^{2}$이므로 $\displaystyle \left\{ \left( a ^{2} + 2 \right) - \frac{5}{2} \right\} ^{2} + \left( a - \frac{5}{2} \right) ^{2} = \left( \frac{5 \sqrt{2}}{2} \right) ^{2}$ $a ^{4} - 5 a - 6 = 0$에서 $( a + 1 ) ( a - 2 ) \left( a ^{2} + a + 3 \right) = 0$ $a \geq 0$이므로 $a = \square {2}$ 따라서 점 ${\mathrm{P}}$의 $y$좌표는 ${\square {2}}$이다. $g \left( a \right) = a ^{2} + 2$, $\displaystyle m = \frac{5}{2}$, $n = 2$이므로 $\displaystyle m + g ( n ) = \frac{5}{2} + 6 = \frac{17}{2}$