미적분Ⅰ함수의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

무리함수와 선분 비 극한

문제

[13 ~ 14] 세 함수 f(x)=x+2\displaystyle f \left( x \right) = \sqrt{x + 2}, g(x)=−x−2+2\displaystyle g \left( x \right) = - \sqrt{x - 2} + 2, h(x)=xh \left( x \right) = x의 그래프가 그림과 같다. 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

함수 y=h(x)y = h \left( x \right)의 그래프 위의 점 P(a,a)\mathrm{P} \left( \mathit{a} , a \right)를 지나고 xx축에 평행한 직선이 함수 y=f(x)y = f \left( x \right)의 그래프와 만나는 점을 A\mathrm{A}, 함수 y=g(x)y = g \left( x \right)의 그래프와 만나는 점을 B\mathrm{B}라 하자. 점 B\mathrm{B}를 지나고 yy축에 평행한 직선이 함수 y=h(x)y = h \left( x \right)의 그래프와 만나는 점을 C\mathrm{C}라 할 때, lim⁡a→2−BC‾AB‾\displaystyle \lim\limits _{a \rightarrow 2 -} {\frac{{\overline{\mathrm{BC}}}}{{\overline{\mathrm{AB}}}}}의 값은? (단, 0<a<20 < a < 2) [4점] ①15\displaystyle \frac{1}{5}②14\displaystyle \frac{1}{4}③13\displaystyle \frac{1}{3}④12\displaystyle \frac{1}{2}⑤11

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②

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해설

[출제의도] 함수의 극한 문제해결하기 점 P(a,a)\mathrm{P} \left( \mathit{a} , a \right)를 지나고 xx축에 평행한 직선 y=ay = a와 두 함수 y=f(x)y = f \left( x \right), y=g(x)y = g \left( x \right)의 그래프가 만나는 점은 각각 A(a2−2,a)\mathrm{A} \left( \mathit{a} ^{2} - 2 , a \right), B(a2−4a+6,a)\mathrm{B} \left( \mathit{a} ^{2} - 4 a + 6 , \mathit{a} \right)이다. ∴\therefore AB‾=(a2−4a+6)−(a2−2)=−4a+8\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = \mathit{\left( a ^{2} - 4 a + 6 \right)} - \left( a ^{2} - 2 \right) = - 4 a + 8 점 B\mathrm{B}를 지나고 yy축에 평행한 직선 x=a2−4a+6x = a ^{2} - 4 a + 6과 함수 y=h(x)y = h \left( x \right)의 그래프가 만나는 점은 C(a2−4a+6,a2−4a+6)\mathrm{C} \left( \mathit{a} ^{2} - 4 a + 6 , a ^{2} - 4 a + 6 \right)이다. ∴\therefore BC‾=(a2−4a+6)−a=a2−5a+6\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}} = \left( \mathit{a} ^{2} - 4 a + 6 \right) - a = a ^{2} - 5 a + 6 따라서 lim⁡a→2−BC‾AB‾=lim⁡a→2−a2−5a+6−4a+8\displaystyle \lim\limits _{a \rightarrow 2 -} {\frac{{\overline{\mathrm{BC}}}}{{\overline{\mathrm{AB}}}}} = \lim\limits _{a \rightarrow 2 -} {\frac{\mathit{a} ^{2} - 5 a + 6}{- 4 a + 8}} =lim⁡a→2−(a−2)(a−3)−4(a−2)\displaystyle = \lim\limits _{a \rightarrow 2 -} {\frac{\mathit{\left( a - 2 \right)} \left( a - 3 \right)}{- 4 \left( a - 2 \right)}} =lim⁡a→2−a−3−4=14\displaystyle = \lim\limits _{a \rightarrow 2 -} {\frac{a - 3}{- 4} = \frac{1}{4}}

태그

#무리함수#극한#선분의 길이

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