무리함수와 직선 접함

[출제의도] 무리함수의 그래프와 역함수의 그래프 사이 관계를 이용하여 미정계수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. $\displaystyle \sqrt{ax} = x$의 한 실근이 $x = 2$이므로 $\displaystyle \sqrt{2 a} = 2$ ∴ $a = 2$ $\displaystyle y = \sqrt{2 x + b}$의 역함수는 $\displaystyle x = \sqrt{2 y + b}$에서 $\displaystyle y = \frac{1}{2} ( x ^{2} - b )$이므로 $\displaystyle y = \sqrt{2 x + b}$와 직선 $y = x$가 접하면 $\displaystyle y = \frac{1}{2} ( x ^{2} - b )$와 직선 $y = x$도 접한다. 이차방정식 $\displaystyle \frac{1}{2} ( x ^{2} - b ) = x$가 중근을 가지므로 $x ^{2} - 2 x - b = 0$에서 $\displaystyle \frac{D}{4} = 1 + b = 0$, $b = - 1$ ∴ $a b = - 2$