무리함수와 이차함수 결합

[출제의도] 무리함수의 그래프를 이용하여 함숫값을 구하는 문제를 해결한다. 방정식 $\left\{ f ( x ) - \alpha \right\} \left\{ f ( x ) - \beta \right\} = 0$에서 $f ( x ) = \alpha$ 또는 $f ( x ) = \beta$ …… ㉠ 조건 (나)에서 $f ( \alpha ) = \alpha$, $f ( \beta ) = \beta$이고 조건 (가)에서 방정식 ㉠의 실근이 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$뿐이므로 방정식 $f ( x ) = \alpha$의 실근이 $\alpha$, $\gamma$이고 방정식 $f ( x ) = \beta$의 실근이 $\beta$뿐이거나, 방정식 $f ( x ) = \alpha$의 실근이 $\alpha$뿐이고 방정식 $f ( x ) = \beta$의 실근이 $\beta$, $\gamma$이다. 방정식 $f ( x ) = \alpha$의 실근이 $\alpha$, $\gamma$이고 방정식 $f ( x ) = \beta$의 실근이 $\beta$뿐인 경우를 생각하자. 방정식 $f ( x ) = \alpha$의 실근이 $\alpha$, $\gamma$이므로 곡선 $y = f ( x )$와 직선 $y = \alpha$는 두 점에서 만나고 두 교점의 $x$좌표는 각각 $\alpha$, $\gamma$이다. 또한, 방정식 $f ( x ) = \beta$의 실근이 $\beta$뿐이므로 곡선 $y = f ( x )$와 직선 $y = \beta$는 오직 한 점에서 만나고 이 점의 $x$좌표는 $\beta$이다. 이때 곡선 $y = f ( x )$와 $x$축에 평행한 직선이 오직 한 점에서 만나려면 만나는 점의 좌표가 $\left( a , b \right)$이어야 한다. 그러므로 점 $\left( a , b \right)$는 점 $\left( \beta , \beta \right)$와 일치한다. 즉, $a = b = \beta$ …… ㉡ 한편, $f ( \alpha ) = \alpha$, $f ( \beta ) = \beta$이므로 곡선 $y = f ( x )$와 직선 $y = x$는 두 점 $\left( \alpha , \alpha \right)$, $\left( \beta , \beta \right)$에서 만난다. 따라서 함수 $y = f ( x )$의 그래프는 그림과 같다.

$f ( x ) = x$에서 $\mathit{-} \left( x - a \right) ^{2} + b$$= x$ ㉡에서 $\mathit{-} \left( x - \beta \right) ^{2} + \beta$$= x$, $\left( x - \beta \right) ^{2} + \left( x - \beta \right) = 0$, $\left( x - \beta \right) \left( x - \beta + 1 \right)$$= 0$, $x = \beta - 1$ 또는 $x = \beta$ $f ( \alpha ) = \alpha$이고 $\alpha \ne \beta$이므로 $\alpha = \beta - 1$ $f ( \gamma ) = \alpha$이고 $\gamma > \beta = a$이므로 $\displaystyle - \sqrt{\gamma - a} + b = \alpha$, $\displaystyle \mathit{-} \sqrt{\gamma - \beta} + \beta$$= \beta - 1$, $\displaystyle \sqrt{\gamma - \beta} = 1$, $\gamma = \beta + 1$ 이때 $\alpha + \beta + \gamma$$= 15$이므로 $\left( \beta - 1 \right) + \beta + \left( \beta + 1 \right) = 15$ $3 \beta = 15$, $\beta = 5$ $\alpha = \beta - 1 = 4$, $\gamma = \beta + 1 = 6$ 따라서 ㉡에서 $a = b = 5$이고

이므로 $f ( \alpha + \beta )$$= f ( 9 )$$\displaystyle = \mathit{-} \sqrt{9 - 5} + 5$$= 3$ 한편, 방정식 $f ( x ) = \alpha$의 실근이 $\alpha$뿐이고 방정식 $f ( x ) = \beta$의 실근이 $\beta$, $\gamma$인 경우에도 같은 방법으로 $f ( \alpha + \beta )$$= 3$이다.