무리함수 영역 격자점

[출제의도] 수열의 합 추론하기 함수 $\displaystyle y = \sqrt{x + n ^{2}}$의 그래프는 함수 $\displaystyle y = \sqrt{x}$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $- n ^{2}$만큼 평행이동한 것이고, 함수 $\displaystyle y = - \sqrt{x} + n$의 그래프는 함수 $\displaystyle y = - \sqrt{x}$의 그래프를 $y$축의 방향으로 $n$만큼 평행이동한 것이므로 두 함수의 그래프와 $x$축으로 둘러싸인 영역의 내부 또는 그 경계는 <그림1>과 같다.

$- n ^{2}$ $\displaystyle y = - \sqrt{x} + n$ $\displaystyle y = \sqrt{x + n ^{2}}$

<그림1>

$- n ^{2}$ $\displaystyle y = - \sqrt{x} + n$ $\displaystyle y = \sqrt{x + n ^{2}}$

<그림2> 이 때, 함수 $\displaystyle y = - \sqrt{x} + n$의 그래프는 함수 $\displaystyle y = \sqrt{x + n ^{2}}$의 그래프를 $x$축에 대하여 대칭이동한 후 $x$축의 방향으로 $n ^{2}$만큼, $y$축의 방향으로 $n$만큼 평행이동한 것이므로 <그림2>와 같이 함수 $\displaystyle y = \sqrt{x + n ^{2}}$의 그래프와 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 영역 $\text{㉠}$의 $x$좌표와 $y$좌표가 모두 정수인 점의 개수는 함수 $\displaystyle y = - \sqrt{x} + n$의 그래프와 두 직선 $x = n ^{2}$, $y = n$으로 둘러싸인 영역 $\text{㉢}$의 $x$좌표와 $y$좌표가 모두 정수인 점의 개수와 같다. 그러므로 영역 $\text{㉠}$과 영역 $\text{㉡}$의 $x$좌표와 $y$좌표가 모두 정수인 점의 개수는 영역 $\text{㉡}$과 영역 $\text{㉢}$의 $x$좌표와 $y$좌표가 모두 정수인 점의 개수와 같다. $x$축 위의 정수인 점은 $0$, $1$, $\cdots$, $n ^{2}$ 이므로 $\left( n ^{2} + 1 \right)$개 $y$축 위의 정수인 점은 $0$, $1$, $\cdots$, $n$ 이므로 $\left( n + 1 \right)$개 $\therefore$ $a _{n} = \left( n ^{2} + 1 \right) \left( n + 1 \right) = n ^{3} + n ^{2} + n + 1$ 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{5} a _{n} = \sum\limits _{n = 1} ^{5} \left( n ^{3} + n ^{2} + n + 1 \right)$ $\displaystyle = \left( \frac{5 \times 6}{2} \right) ^{2} + \left( \frac{5 \times 6 \times 11}{6} \right) + \left( \frac{5 \times 6}{2} \right) + 5$ $= 300$ [다른 풀이] <그림1>에서 $y$의 값에 대한 점의 개수는 아래의 표와 같다.

$\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{5} a _{n} = 4 + 15 + 40 + 85 + 156 = 300$