무리함수 역함수 부등식

[출제의도] 역함수와 무리함수의 성질을 활용하여 부등식의 해를 구하는 문제를 해결한다. $\displaystyle f ( x ) = {\begin{cases} \sqrt{2 x} & ( x \geq 0 ) \\ 4 x & ( x < 0 ) \end{cases}}$ 이므로 함수 $f ( x )$의 역함수를 $g ( x )$라 하면 $\displaystyle g ( x ) = {\begin{cases} \frac{1}{2} x ^{2} & ( x \geq 0 ) \\ \frac{1}{4} x & ( x < 0 ) \end{cases}}$ i) $x \geq 0$인 경우 $\displaystyle g ( x ) \leq - \frac{1}{4} x ^{2} + 3$ $\displaystyle \frac{1}{2} x ^{2} \leq - \frac{1}{4} x ^{2} + 3$ $\displaystyle \frac{3}{4} x ^{2} \leq 3$ $x ^{2} \leq 4$ $- 2 \leq x \leq 2$ $x \geq 0$이므로 $0 \leq x \leq 2$ ii) $x < 0$인 경우 $\displaystyle g ( x ) \leq - \frac{1}{4} x ^{2} + 3$ $\displaystyle \frac{1}{4} x \leq - \frac{1}{4} x ^{2} + 3$ $\displaystyle \frac{1}{4} x ^{2} + \frac{1}{4} x - 3 \leq 0$ $x ^{2} + x - 12 \leq 0$ $( x + 4 ) ( x - 3 ) \leq 0$ $- 4 \leq x \leq 3$ $x < 0$이므로 $- 4 \leq x < 0$ i), ii)에서 부등식의 해는 $- 4 \leq x \leq 2$ 따라서 $a + b = \mathit{-} 2$