공통수학2유리함수와 무리함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

무리함수 위 사각형 넓이

문제

그림과 같이 양수 $k$ 에 대하여 함수 $\displaystyle f \left( x \right) = \sqrt{2 x}$ 의 그래프 위의 두 점 ${\mathrm{A}} \mathit{\left( k , f \left( k \right) \right)}$ , ${\mathrm{B}} \mathit{\left( 4 k , f \left( 4 k \right) \right)}$ 에서 $x$ 축에 내린 수선의 발을 각각 ${\mathrm{C}}$ , ${\mathrm{D}}$ 라 하자. 사각형 ${\mathrm{ACDB}}$ 의 넓이가 $18$ 일 때, $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}}$ 의 값은? [3점]

① $\displaystyle \sqrt{35}$ ② $\displaystyle 2 \sqrt{10}$ ③ $\displaystyle 3 \sqrt{5}$ ④ $\displaystyle 5 \sqrt{2}$ ⑤ $\displaystyle \sqrt{55}$

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②

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해설

점 $\displaystyle {\mathrm{A}} \mathit{\left( k , \sqrt{2 k} \right)}$ , 점 $\displaystyle {\mathrm{B}} \mathit{\left( 4 k , 2 \sqrt{2 k} \right)}$ , 점 ${\mathrm{C}} \mathit{\left( k , 0 \right)}$ , 점 ${\mathrm{D}} \mathit{\left( 4 k , 0 \right)}$ 이고 사각형 ${\mathrm{ACDB}}$ 는 넓이가 $18$ 인 사다리꼴이므로 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \left( \sqrt{2 k} + 2 \sqrt{2 k} \right) \times 3 k = 18$ $\displaystyle 9 k \sqrt{2 k} = 36$ , $2 k ^{3} = 16$ $k ^{3} = 8$ 에서 $k = 2$ 이므로 ${\mathrm{A}} \mathit{\left( 2 , 2 \right)}$ , ${\mathrm{B}} \mathit{\left( 8 , 4 \right)}$ 따라서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = \sqrt{\left( 8 - 2 \right) ^{2} + \left( 4 - 2 \right) ^{2}} = 2 \sqrt{10}$

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