미적분Ⅰ함수의 극한수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

무리함수 삼각형 넓이 비 극한

문제

그림과 같이 무리함수 f(x)=x\displaystyle f ( x ) = \sqrt{x}의 그래프가 직선 y=xy = x와 만나는 두 점 중에서 원점 O\mathrm{O}가 아닌 점을 A\mathrm{A}라 하고, 점 A\mathrm{A}를 지나고 직선 y=xy = x와 수직인 직선이 xx축과 만나는 점을 B\mathrm{B}라 하자. 직선 x=tx = t가 직선 y=xy = x와 만나는 점을 P\mathrm{P}, 직선 x=tx = t가 함수 y=f(x)y = f \left( x \right)의 그래프와 만나는 점을 Q\mathrm{Q}, 직선 y=ty = t가 직선 AB\mathrm{AB}와 만나는 점을 R\mathrm{R}라 하자. 삼각형 OAQ\mathrm{OAQ}와 삼각형 PBR\mathrm{PBR}의 넓이를 각각 S(t)S \left( t \right), T(t)T \left( t \right)라 할 때, lim⁡t→1−T(t)S(t)\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 1 -} {\frac{T \left( t \right)}{S \left( t \right)}}의 값을 구하시오. (단, 0<t<10 < t < 1) [4점]

y=f(x)y = f \left( x \right)

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4

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해설

[출제의도] 함수의 극한을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 A(1,1)\mathrm{A} \left( 1 , 1 \right)를 지나고 직선 y=xy = x와 수직인 직선은 y=−x+2y = - x + 2이므로 점 B\mathrm{B}의 xx좌표는 22이다. P(t,t)\mathrm{P} ( \mathit{t} , t )이므로 Q(t,t)\displaystyle \mathrm{Q} \left( \mathit{t} , \sqrt{t} \right)이고, R\mathrm{R}는 직선 y=−x+2y = - x + 2 위의 점이므로 R(−t+2,t)\mathrm{R} ( \mathit{-} t + 2 , t ) QP‾=t−t,PR‾=−2t+2\displaystyle \mathrm{\overline{QP}} = \mathit{\sqrt{t}} - t , {\overline{\mathrm{PR}}} = - 2 t + 2이므로 S(t)=12×{t+(1−t)}×(t−t)=12(t−t)\displaystyle \mathit{S} ( t ) = \frac{1}{2} \times \left\{ t + ( 1 - t ) \right\} \times \left( \sqrt{t} - t \right) = \frac{1}{2} \left( \sqrt{t} - t \right) T(t)=12×t×(−2t+2)=t−t2\displaystyle \mathit{T} ( t ) = \frac{1}{2} \times t \times \left( - 2 t + 2 \right) = t - t ^{2} lim⁡t→1−t−t212(t−t)=lim⁡t→1−2(t−t2)(t+t)(t−t2)=4\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 1 -} {\frac{t - t ^{2}}{\frac{1}{2} \left( \sqrt{t} - t \right)}} = \lim\limits _{t \rightarrow 1 -} {\frac{2 \left( t - t ^{2} \right) \left( \sqrt{t} + t \right)}{\left( t - t ^{2} \right)}} = 4

태그

#함수의 극한#무리함수#넓이

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