공통수학2유리함수와 무리함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

무리함수 삼각형 넓이

문제

[13 ~ 14] 자연수 ${{n}}$ 에 대하여 직선 ${{x = n}}$ 이 두 무리함수 $\displaystyle {{y = \sqrt{x}}}$ , $\displaystyle {{y = 2 \sqrt{x}}}$ 의 그래프와 만나는 점을 각각 $\mathrm{A} _{\mathit{n}}$ , $\mathrm{{B _{\mathit{n}}}}$ 이라 하자. (단, ${{\mathrm{O}}}$ $\mathbf{\mathrm{O}}$ 는 원점이다.) 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

$\displaystyle y = 2 \sqrt{x}$ $\displaystyle y = \sqrt{x}$ ${\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{_{n}}}$

삼각형 $\mathrm{OA} \mathit{\mathrm{_{n}}} \mathrm{B} \mathit{\mathrm{_{n}}}$ 의 넓이를 $S ( n )$ 이라고 할 때, $S ( 2 ^{10} ) = 2 ^{k}$ 이다. $k$ 의 값은? [3점] ① $10$ ② $11$ ③ $12$ ④ $13$ ⑤ $14$

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⑤

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해설

[출제의도] 무리함수를 이용하여 지수법칙 문제 해결하기

$\displaystyle y = 2 \sqrt{x}$ $\displaystyle y = \sqrt{x}$ ${\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{_{n}}}$

삼각형 $\mathrm{OA} \mathit{\mathrm{_{n}}} \mathrm{B} \mathit{\mathrm{_{n}}}$ 의 넓이는 $\displaystyle S ( n ) = \frac{1}{2} \times n \times {\overline{\mathrm{A} \mathit{\mathrm{_{n}}} \mathrm{B} \mathit{\mathrm{_{n}}}}}$ 이다. 따라서 $\displaystyle S ( 2 ^{10} ) = \frac{1}{2} \times \left( 2 \sqrt{2 ^{10}} - \sqrt{2 ^{10}} \right) \times 2 ^{10} = 2 ^{14}$ 이므로 $k = 14$ 이다.

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