무리함수 보기

[출제의도] 무리함수의 그래프의 성질을 이용하여 주어진 명제의 참, 거짓을 판단한다. 두 함수 $f ( x )$, $g ( x )$를 $\displaystyle f ( x ) = \mathit{-} \sqrt{kx + 2 k} + 4$, $\displaystyle g ( x ) = \mathit{\sqrt{- \mathit{kx} + 2 k}} - 4$ 라 하자. ㄱ. $f ( - x )$$\displaystyle = \mathit{-} \sqrt{- \mathit{kx} + 2 k} + 4$ $\displaystyle = \mathit{-} \left( \sqrt{- \mathit{kx} + 2 k} - 4 \right)$ $= \mathit{-} g ( x )$ 이므로 $g ( x ) = \mathit{-} f ( - x )$ 따라서 두 곡선 $\displaystyle y = \mathit{-} \sqrt{kx + 2 k} + 4$, $y$$\displaystyle = \mathit{\sqrt{- \mathit{kx} + 2 k}} - 4$는 원점에 대하여 대칭이다. (참) ㄴ. $k < 0$이면 두 곡선은 다음과 같다.

따라서 두 곡선은 만나지 않는다. (거짓) ㄷ. ($\mathrm{i}$) $k < 0$일 때 ㄴ에 의하여 두 곡선은 만나지 않는다. ($\mathrm{ii}$) $k > 0$일 때 ㄱ에서 두 곡선은 원점에 대하여 대칭이고 $k$의 값이 커질수록 곡선 $y = f ( x )$는 직선 $y = 4$와 멀어지고 곡선 $y = g ( x )$는 직선 $y = \mathit{-} 4$와 멀어진다. 따라서 두 곡선이 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 $k$의 최댓값은 그림과 같이 곡선 $y = f ( x )$가 곡선 $y = g ( x )$ 위의 점 $\left( 2 , - \mathit{4} \right)$를 지날 때이다.

$\displaystyle - 4 = \mathit{-} \sqrt{2 k + 2 k} + 4$ $\displaystyle \sqrt{4 k}$$= 8$, $4 k = 64$ 따라서 $k = 16$ (참)