공통수학2유리함수와 무리함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

무리·이차함수 합성

문제

x≥−1x \geq - 1에서 정의된 함수 f(x)=x+1+1\displaystyle f ( x ) = \sqrt{x + 1} + 1과 x≥1x \geq 1에서 정의된 함수 g(x)=(x−1)2−1g ( x ) = ( x - 1 ) ^{2} - 1에 대하여 (g∘f∘f)(15)( g \circ f \circ f ) ( 15 )의 값은? [3점] ①11②33③55④77⑤99

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③

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해설

[출제의도] 합성함수와 역함수의 정의를 이용하여 주어진 식의 값을 구한다. 함수 ff와 함수 gg는 서로 역함수이므로 g∘f=Ig \circ f = I (단, II는 항등함수)이다. 그러므로 g∘f∘fg \circ f \circ f=(g∘f)∘f= ( g \circ f ) \circ f=I∘f= I \circ f=f= f 따라서 (g∘f∘f)(15)( g \circ f \circ f ) ( 15 )=((g∘f)∘f)(15)= ( ( g \circ f ) \circ f ) ( 15 ) =(I∘f)(15)= ( I \circ f ) ( 15 )=f(15)= f ( 15 )=15+1+1\displaystyle = \sqrt{15 + 1} + 1=5= 5 [다른 풀이] f(15)f ( 15 )=15+1+1\displaystyle = \sqrt{15 + 1} + 1=5= 5, f(5)=5+1+1\displaystyle f ( 5 ) = \sqrt{5 + 1} + 1=6+1\displaystyle = \sqrt{6} + 1, g(6+1)\displaystyle g ( \sqrt{6} + 1 )=(6+1−1)2−1\displaystyle = ( \sqrt{6} + 1 - 1 ) ^{2} - 1=5= 5 이므로 (g∘f∘f)(15)( g \circ f \circ f ) ( 15 )=g(f(f(15)))= g ( f ( f ( 15 ) ) )=g(f(5))= g ( f ( 5 ) )=g(6+1)\displaystyle = g ( \sqrt{6} + 1 )=5= 5

태그

#무리함수#합성함수

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