물속 총알 속도

수면에서 수면과 수직인 방향으로 물속을 향해 발사된 총알은 시간이 지날수록 물의 저항에 의해 속도가 줄어든다. 수면에서 $1000$(m/초)의 속도로 어떤 총알이 발사된 후 $t$초 $\displaystyle \left( 0 \leq t < \frac{1}{50} \right)$가 지난 순간 총알의 속도를 $v ( t )$(m/초)라 하면 관계식 $v ( t ) = a \cdot b ^{100 t}$ (단, $a$와 $b$는 양의 상수)이 성립한다고 하자. 발사 후 $\displaystyle \frac{1}{100}$초가 지난 순간 총알의 속도가 $50 \mathrm{(} m / \text{초} )$이었다. 총알의 속도가 $\displaystyle 100 \sqrt{5} \mathrm{(} m / \text{초} )$가 되는 것은 총알이 발사된 후 $p$초가 지난 순간이다. $\displaystyle \frac{1}{p}$의 값을 구하시오. [4점]