물 옮기기 행렬

[출제의도] 역행렬의 성질을 이용하여 실생활 문제 해결하기 그릇 $A$에 들어 있는 물의 양의 $\displaystyle \frac{1}{2}$을 그릇 $B$에 부은 후에 두 그릇 $A , B$에 들어 있는 물의 양은 각각 $\displaystyle \frac{1}{2} a$, $\displaystyle \frac{1}{2} a + b$ 이다. 그릇 $B$에 들어 있는 물의 양의 $\displaystyle \frac{1}{3}$을 그릇 $A$에 부은 후에 두 그릇 $A , B$에 들어 있는 물의 양은 각각 $\displaystyle \frac{1}{2} a + \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} a + b \right)$, $\displaystyle \frac{2}{3} \left( \frac{1}{2} a + b \right)$ 이다. 이 과정을 시행한 후 두 그릇에 들어 있는 물의 양이 각각 $200$(ml), $300$(ml)이므로 $\displaystyle 200 = \frac{1}{2} a + \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} a + b \right) = \frac{2}{3} a + \frac{1}{3} b$, $\displaystyle 300 = \frac{2}{3} \left( \frac{1}{2} a + b \right) = \frac{1}{3} a + \frac{2}{3} b$ 이다. 이를 행렬을 이용하여 나타내면 $\displaystyle \left( \begin{array}{l} {\begin{matrix} 200 \\ 300 \end{matrix}} \end{array} \right) = \frac{1}{3} \left( \begin{array}{ll} {\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}} \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} {\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}} \end{array} \right) \cdots \cdots \text{①}$ 이고 행렬 $\displaystyle \frac{1}{3} \left( \begin{array}{ll} {\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}} \end{array} \right)$의 역행렬 $\displaystyle \left( \begin{array}{ll} {\begin{matrix} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix}} \end{array} \right)$을 $\text{①}$의 양변의 왼쪽에 각각 곱하면 $\displaystyle \left( \begin{array}{l} {\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ll} {\begin{matrix} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix}} \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} {\begin{matrix} 200 \\ 300 \end{matrix}} \end{array} \right)$ 이다. 따라서 $\displaystyle \left( \begin{array}{ll} {\begin{matrix} s & t \\ t & s \end{matrix}} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ll} {\begin{matrix} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix}} \end{array} \right)$이므로 $s = 2$, $t = - 1$이다. 그러므로 $10 s + t = 19$이다.