묶음 등비수열

조건 (가)에 의하여 $b _{n} = a _{3 n - 2} + a _{3 n - 1} + a _{3 n} = 3 a _{3 n - 1}$ 조건 (나)에 의하여 수열 $\left\{ b _{n} \right\}$은 첫째항이 $3 a _{2}$, 공비가 $3$인 등비수열이므로 모든 자연수 $n$에 대하여 $b _{n} = 3 a _{3 n - 1} = 3 a _{2} \times 3 ^{n - 1}$ $a _{3 n - 1} = a _{2} \times 3 ^{n - 1}$ $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{14} a _{k}$$\displaystyle = a _{13} + a _{14} + \sum\limits _{k = 1} ^{4} \left( a _{3 k - 2} + a _{3 k - 1} + a _{3 k} \right)$ $\displaystyle = a _{13} + 81 a _{2} + \sum\limits _{k = 1} ^{4} b _{k}$ $\displaystyle = a _{13} + 81 a _{2} + 3 a _{2} \times \sum\limits _{k = 1} ^{4} 3 ^{k - 1}$ $\displaystyle = a _{13} + 81 a _{2} + 3 a _{2} \times \frac{3 ^{4} - 1}{3 - 1}$ $= a _{13} + 201 a _{2} = 500$ 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 모든 항이 자연수이므로 $a _{2} = 1$ 또는 $a _{2} = 2$ (ⅰ) $a _{2} = 1$인 경우 $a _{13} = 299$, $a _{14} = 81$, $a _{15} < 0$ 조건을 만족시키지 않는다. (ⅱ) $a _{2} = 2$인 경우 $a _{13} = 98$, $a _{14} = 162$, $a _{15} = 226$이므로 조건을 만족시킨다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $a _{13} = 98$