무게중심과 사분원 보기

[출제의도] 삼각형의 무게중심의 성질을 이용하여 삼각형과 관련된 명제의 참, 거짓을 추론한다. 점 $\mathrm{P}$의 좌표를 $( a , b )$라 하고 점 $\mathrm{Q}$의 좌표를 $\left( x , y \right)$라 하면 삼각형 $\mathrm{APQ}$의 무게중심의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{x + a + 4}{3} , \frac{y + b + 2}{3} \right)$ 이고 이 점이 원점 $\mathrm{O}$와 일치하므로 $\displaystyle \frac{x + a + 4}{3} = 0$, $\displaystyle \frac{y + b + 2}{3} = 0$ $x = \mathit{-} a - 4$, $y = \mathit{-} b - 2$ 따라서 점 $\mathrm{Q}$의 좌표는 $( - a - 4 , - b - 2 )$이다. ㄱ. 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$의 좌표가 각각 $( a , b )$, $( - a - 4 , - b - 2 )$ 이므로 선분 $\mathrm{PQ}$의 중점의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{a + ( - a - 4 )}{2} , \frac{b + ( - b - 2 )}{2} \right)$ 즉, $\left( - 2 , - 1 \right)$이다. (참) ㄴ. 점 $\mathrm{A}'$은 점 $\mathrm{A} \left( 4 , 2 \right)$를 원점에 대하여 대칭이동한 점이므로 점 $\mathrm{A} \mathit{'}$의 좌표는 $( - 4 , - 2 )$이고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{A}' Q}}$$\displaystyle = \sqrt{\left\{ - 4 - \left( - a - 4 \right) \right\} ^{2} + \left\{ - 2 - ( - b - 2 ) \right\} ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{a ^{2} + b ^{2}}$ 이때 점 $\mathrm{P}$는 사분원의 호 $C$ 위의 점이므로 $a ^{2} + b ^{2} = 25$ 따라서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{A}' Q}}$$\displaystyle = \sqrt{a ^{2} + b ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{25}$$= 5$ 이므로 선분 $\mathrm{A}' Q$의 길이는 $5$로 일정하다. (참) ㄷ. 선분 $\mathrm{OA}'$의 중점을 $\mathrm{M}$이라 하면 점 $\mathrm{M}$의 좌표는 $\left( - 2 , - 1 \right)$이고 이는 선분 $\mathrm{PQ}$의 중점의 좌표와 일치하므로 사각형 $\mathrm{OPA}' Q$는 평행사변형이다. 즉, 삼각형 $\mathrm{A}' QP$의 넓이는 삼각형 $\mathrm{OPA}'$의 넓이와 같다. 점 $\mathrm{P}$에서 직선 $\mathrm{OA}'$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 (삼각형 $\mathrm{OPA}'$의 넓이)$\displaystyle = \frac{1}{2} {\times} {\overline{\mathrm{OA}'}} {\times} {\overline{\mathrm{PH}}}$$\displaystyle = \frac{1}{2} {\times} 2 \sqrt{5} {\times} {\overline{\mathrm{PH}}}$ …… ㉠ 이므로 선분 $\mathrm{PH}$의 길이가 최대이면 삼각형 $\mathrm{OPA}'$의 넓이도 최대이고, 선분 $\mathrm{PH}$의 길이가 최소이면 삼각형 $\mathrm{OPA}'$의 넓이도 최소이다. 선분 $\mathrm{PH}$의 길이가 최대일 때는 사분원의 호 $C$ 위의 점 $\mathrm{P}$에서의 접선이 직선 $\mathrm{OA}'$과 평행할 때이다.

[그림 1]

직선 $\mathrm{OA}'$의 기울기는 $\displaystyle \frac{0 - ( - 2 )}{0 - ( - 4 )}$$\displaystyle = \frac{1}{2}$이므로 [그림 1]과 같이 접선의 기울기가 $\displaystyle \frac{1}{2}$이 되는 점 $\mathrm{P}$가 반드시 존재하고 이때 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OP}}} = 5$이다. 따라서 선분 $\mathrm{PH}$의 길이의 최댓값은 $5$이므로 ㉠에서 삼각형 $\mathrm{OPA}'$의 넓이의 최댓값은 $M$$\displaystyle = \frac{1}{2} {\times} 2 \sqrt{5} {\times} 5$$\displaystyle = 5 \sqrt{5}$ 한편, 선분 $\mathrm{PH}$의 길이가 최소일 때는 [그림 2]와 같이 점 $\mathrm{P}$의 좌표가 $\left( - 5 , 0 \right)$일 때이다.

[그림 2]

직선 $\mathrm{OA}'$의 방정식은 $\displaystyle y = \frac{1}{2} x$, 즉 $x - 2 y = 0$이므로 점 $\left( - 5 , 0 \right)$과 직선 $x - 2 y = 0$ 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{\left| - 5 - 0 \right|}{\sqrt{1 ^{2} + ( - 2 ) ^{2}}}$$\displaystyle = \sqrt{5}$ 따라서 선분 $\mathrm{PH}$의 길이의 최솟값은 $\displaystyle \sqrt{5}$이므로 ㉠에서 삼각형 $\mathrm{OPA}'$의 넓이의 최솟값은 $m$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{5} \times \sqrt{5}$$= 5$ 따라서 $M {\times} m$$\displaystyle = 5 \sqrt{5} {\times} 5$$\displaystyle = 25 \sqrt{5}$ (거짓) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.