무게중심과 외접원

삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 변 $\mathrm{BC}$의 중점을 $\mathrm{M} \mathit{\left( a , b \right)}$, 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 무게중심을 $\mathrm{G}$라 하면 점 $\mathrm{G} \mathit{\left( - 1 , 1 \right)}$은 선분 $\mathrm{AM}$을 $2 : 1$로 내분하는 점이다. $\displaystyle \frac{2 \times a + 1 \times \left( - 5 \right)}{2 + 1} = \frac{2 a - 5}{3} = - 1$에서 $a = 1$ $\displaystyle \frac{2 \times b + 1 \times \left( - 1 \right)}{2 + 1} = \frac{2 b - 1}{3} = 1$에서 $b = 2$ 이므로 점 $\mathrm{M}$의 좌표는 $\left( 1 , 2 \right)$ 중심이 원점 $\mathrm{O}$이고 세 점 $\mathrm{A} \mathit{\left( - 5 , - 1 \right)}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$를 지나는 원을 $C$라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OA}}} = \sqrt{26}$이므로 $C : x ^{2} + y ^{2} = 26$ 원점 $\mathrm{O}$, $\mathrm{M} \mathit{\left( 1 , 2 \right)}$를 지나는 직선을 $l _{1}$이라 하면 $l _{1} : y = 2 x$ 점 $\mathrm{M} \mathit{\left( 1 , 2 \right)}$를 지나고 직선 $l _{1}$과 수직인 직선을 $l _{2}$라 하면 $\displaystyle l _{2} : y = - \frac{1}{2} \left( x - 1 \right) + 2 = - \frac{1}{2} x + \frac{5}{2}$ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 수직이등분하므로 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 두 점 $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$는 직선 $l _{2}$와 원 $C$가 만나는 점이다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{OB}}} = \sqrt{26}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{OM}}} = \sqrt{5}$ 삼각형 $\mathrm{OMB}$는 직각삼각형이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BM}}} = \sqrt{21}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}} = 2 {\overline{\mathrm{BM}}} = 2 \sqrt{21}$ 점 $\mathrm{A} \mathit{\left( - 5 , - 1 \right)}$과 직선 $l _{2} : x + 2 y - 5 = 0$ 사이의 거리를 $h$라 하면 $\displaystyle h = \frac{\left| 1 \times \left( - 5 \right) + 2 \times \left( - 1 \right) - 5 \right|}{\sqrt{1 ^{2} + 2 ^{2}}} = \frac{12 \sqrt{5}}{5}$ 이므로 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{BC}}} \times h = \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{21} \times \frac{12 \sqrt{5}}{5} = \frac{12}{5} \sqrt{105}$ $p = 5$, $q = 12$ 따라서 $p + q = 5 + 12 = 17$