무게중심과 거리

[출제의도] 점과 직선 사이의 거리를 이용하여 점의 좌표를 구한다. 세 점 ${\mathrm{O}} ( 0 , 0 )$, ${\mathrm{A}} ( 8 , 4 )$, $\mathrm{B} \mathit{(} 7 , a )$를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 무게중심 $\mathrm{G}$의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{0 + 8 + 7}{3} , \frac{0 + 4 + a}{3} \right)$ 즉, $\displaystyle \left( 5 , \frac{4 + a}{3} \right)$이므로 $\displaystyle b = \frac{4 + a}{3}$ $\cdots \cdots \text{㉠}$ 한편, 직선 $\mathrm{OA}$의 방정식은 $\displaystyle y = \frac{1}{2} x$ 즉, $x - 2 y = 0$ 점 $\mathrm{G} ( 5 , \mathit{b} )$와 직선 $x - 2 y = 0$ 사이의 거리가 $\displaystyle \sqrt{5}$이므로 $\displaystyle \frac{| 5 - 2 b |}{\sqrt{1 ^{2} + ( - 2 ) ^{2}}} = \sqrt{5}$ $| 5 - 2 b | = 5$ $5 - 2 b = 5$ 또는 $5 - 2 b = \mathit{-} 5$ $b = 0$ 또는 $b = 5$ $a > 0$이므로 ㉠ 에서 $b > 0$이다. 따라서 $b = 5$, $a = 11$이므로 $a + b = 16$