무게중심을 지나는 직선과 넓이

실마리: 두 점 $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$에서 직선 $\mathrm{DE}$에 평행한 직선을 그어 중선 $\mathrm{AM}$과 만나는 점을 잡으면 두 변의 비가 중선 위의 길이로 모인다. 두 점 $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$를 지나고 직선 $\mathrm{DE}$에 평행한 직선이 직선 $\mathrm{AM}$과 만나는 점을 각각 $\mathrm{B}'$, $\mathrm{C}'$이라 하자. 두 삼각형 $\mathrm{MBB}'$, $\mathrm{MCC}'$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{MB}} = \overline{\mathrm{MC}}$, $\angle \mathrm{BMB}' = \angle \mathrm{CMC}'$(맞꼭지각), $\angle \mathrm{MBB}' = \angle \mathrm{MCC}'$(엇각)이므로 두 삼각형은 서로 합동이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{MB}'} = \overline{\mathrm{MC}'}$ $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}'} + \overline{\mathrm{AC}'} = ( \overline{\mathrm{AM}} - \overline{\mathrm{MB}'} ) + ( \overline{\mathrm{AM}} + \overline{\mathrm{MC}'} ) = 2 \overline{\mathrm{AM}}$ 무게중심 $\mathrm{G}$는 중선 $\mathrm{AM}$을 $2 : 1$로 내분하므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AM}} = \frac{3}{2} \overline{\mathrm{AG}}$, 즉 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}'} + \overline{\mathrm{AC}'} = 3 \overline{\mathrm{AG}}$ $\displaystyle \overline{\mathrm{BB}'} / / \overline{\mathrm{DG}}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{CC}'} / / \overline{\mathrm{EG}}$이므로 $\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{AB}}}{\overline{\mathrm{AD}}} = \frac{\overline{\mathrm{AB}'}}{\overline{\mathrm{AG}}}$, $\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{AC}}}{\overline{\mathrm{AE}}} = \frac{\overline{\mathrm{AC}'}}{\overline{\mathrm{AG}}}$ $\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{AB}}}{\overline{\mathrm{AD}}} + \frac{\overline{\mathrm{AC}}}{\overline{\mathrm{AE}}} = \frac{\overline{\mathrm{AB}'} + \overline{\mathrm{AC}'}}{\overline{\mathrm{AG}}} = 3$ $\displaystyle \overline{\mathrm{AD}} : \overline{\mathrm{DB}} = 3 : 1$에서 $\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{AB}}}{\overline{\mathrm{AD}}} = \frac{4}{3}$이므로 $\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{AC}}}{\overline{\mathrm{AE}}} = 3 - \frac{4}{3} = \frac{5}{3}$, 즉 $\displaystyle \overline{\mathrm{AE}} : \overline{\mathrm{AC}} = 3 : 5$ 두 삼각형 $\mathrm{ADE}$, $\mathrm{ABC}$는 $\angle \mathrm{A}$를 공유하므로 (삼각형 $\mathrm{ADE}$의 넓이)$\displaystyle = 40 \times \frac{\overline{\mathrm{AD}}}{\overline{\mathrm{AB}}} \times \frac{\overline{\mathrm{AE}}}{\overline{\mathrm{AC}}} = 40 \times \frac{3}{4} \times \frac{3}{5} = 18$ (검산: $\mathrm{A} ( 0 , 0 )$, $\mathrm{B} ( 8 , 0 )$, $\mathrm{C} ( 2 , 6 )$으로 두면 $\displaystyle \mathrm{G} \left( \frac{10}{3} , 2 \right)$, $\mathrm{D} ( 6 , 0 )$이고 직선 $\mathrm{DG}$와 변 $\mathrm{AC}$의 교점은 $\displaystyle \mathrm{E} \left( \frac{6}{5} , \frac{18}{5} \right)$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AE}} : \overline{\mathrm{AC}} = 3 : 5$) 따라서 삼각형 $\mathrm{ADE}$의 넓이는 $18$이다.