무게중심 좌표 극한

[출제의도] 꼭짓점의 위치가 변함에 따라 무게중심이 수렴할 좌표를 추론한다. 두 실수 $\alpha , \beta$에 대해 $\displaystyle \mathrm{P} _{\mathit{n}} \left( \alpha , \frac{\alpha}{\mathit{n}} + 1 \right)$, $\displaystyle \mathrm{Q} _{\mathit{n}} \left( \beta , \frac{\beta}{\mathit{n}} + 1 \right)$이라 하면 $\alpha$, $\beta$는 방정식 $\displaystyle x ^{2} - \left( 4 + \frac{1}{n} \right) x + \frac{4}{n}$$\displaystyle = \frac{1}{n} x + 1$의 두 근이다. $\displaystyle x ^{2} - \left( 4 + \frac{2}{n} \right) x + \frac{4}{n} - 1$$= 0$이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 $\alpha + \beta$$\displaystyle = 4 + \frac{2}{n}$이다. 한편 삼각형 $\mathrm{OP} _{\mathit{n}} Q _{\mathit{n}}$의 무게중심의 $y$좌표 $a _{n}$$\displaystyle = \frac{1}{3} \left( 0 + \frac{\alpha}{n} + 1 + \frac{\beta}{n} + 1 \right)$ $\displaystyle = \frac{1}{3} \left( \frac{\alpha + \beta}{n} + 2 \right)$ $\displaystyle = \frac{1}{3} \left( \frac{4 + \frac{2}{n}}{n} + 2 \right)$$\displaystyle = \frac{1}{3} \left( \frac{4}{n} + \frac{2}{n ^{2}} + 2 \right)$ 따라서 $\displaystyle 30 \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n}$$\displaystyle = 30 \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{1}{3} \left( \frac{4}{n} + \frac{2}{n ^{2}} + 2 \right)$ 　　 　$= 10 ( 0 + 0 + 2 )$$= 20$이다.