무게중심 자취와 거리

[출제의도] 원의 방정식과 삼각형 무게중심의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 원 $C$ 위의 점 $\mathrm{P} \left( \mathit{a} , b \right)$에 대하여 삼각형 $\mathrm{PAB}$의 무게중심의 좌표를 $\left( x , y \right)$라 하면 $\displaystyle x = \frac{a + 4 + 1}{3}$, $\displaystyle y = \frac{b + 3 + 7}{3}$ $a = 3 x - 5$, $b = 3 y - 10$ $\cdots \text{㉠}$ 점 $\mathrm{P}$는 원 $C$ 위의 점이므로 $\left( a - 1 \right) ^{2} + \left( b - 2 \right) ^{2} = 4$ $\cdots \text{㉡}$ $\text{㉠}$을 $\text{㉡}$에 대입하면 $\displaystyle \left( x - 2 \right) ^{2} + \left( y - 4 \right) ^{2} = \left( \frac{2}{3} \right) ^{2}$ 직선 $\mathrm{AB}$의 방정식은 $4 x + 3 y - 25 = 0$이므로 삼각형 $\mathrm{PAB}$의 무게중심이 그리는 원의 중심 $\left( 2 , 4 \right)$와 직선 $\mathrm{AB}$사이의 거리는 $1$ 구하고자 하는 거리의 최솟값은 삼각형 $\mathrm{PAB}$의 무게중심이 그리는 원과 직선 $\mathrm{AB}$사이의 최단거리이므로 $\displaystyle 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$