무게중심 빈칸

선분 ${\mathrm{BC}}$의 중점을 ${\mathrm{M}} \left( b , c \right)$, 삼각형 ${\mathrm{ABC}}$의 무게중심을 ${\mathrm{G}}$라 하면, 점 ${\mathrm{G}} \left( 0 , 2 \right)$는 선분 ${\mathrm{AM}}$을 $2 : 1$로 내분하는 점이므로 $\displaystyle \left( \frac{2 \times b + 1 \times 2 a}{2 + 1} , \frac{2 \times c + 1 \times 0}{2 + 1} \right)$에서 $2 a + 2 b = 0$, $2 c = 6$ $b = - a$, $c = \square {3}$이다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = {\overline{\mathrm{AC}}}$이므로 직선 ${\mathrm{AM}}$과 직선 ${\mathrm{BC}}$는 서로 수직이고, 직선 ${\mathrm{AM}}$의 기울기가 $\displaystyle - \frac{1}{a}$이므로 직선 ${\mathrm{BC}}$의 기울기는 $a$이다. 직선 ${\mathrm{BC}}$는 기울기가 $a$이고 점 ${\mathrm{M}} \left( - a , 3 \right)$을 지나므로 직선 ${\mathrm{BC}}$의 방정식은 $y = \square {a} \times \left\{ x - \left( - a \right) \right\} + \square {3}$이다. 점 ${\mathrm{B}}$의 $x$좌표를 $k$라 하면 점 ${\mathrm{B}}$는 직선 ${\mathrm{BC}}$ 위의 점이므로 점 ${\mathrm{B}}$의 $y$좌표는 $\square {a} \times \left( k + a \right) + \square {3}$이다. ${\mathrm{B}} \left( k , a \left( k + a \right) + 3 \right)$, ${\mathrm{M}} \left( - a , 3 \right)$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BM}}}$$\displaystyle = \sqrt{\left( - a - k \right) ^{2} + \left( 3 - ak - a ^{2} - 3 \right) ^{2}}$ $\displaystyle = \sqrt{\left( a + k \right) ^{2} + a ^{2} \left( a + k \right) ^{2}}$ $\displaystyle = \sqrt{\left( a + k \right) ^{2} \left( a ^{2} + 1 \right)}$ 이고, $\displaystyle {\overline{\mathrm{BM}}} = \frac{1}{2} {\overline{\mathrm{BC}}} = \sqrt{a ^{2} + 1}$이므로 $\displaystyle \sqrt{\left( a + k \right) ^{2} \left( a ^{2} + 1 \right)} = \sqrt{a ^{2} + 1}$ $\displaystyle \sqrt{\left( a + k \right) ^{2}} = 1$에서 $\left| a + k \right| = 1$이므로 $k = - a + 1$ 또는 $k = - a - 1$ 점 ${\mathrm{B}}$의 $x$좌표가 점 ${\mathrm{C}}$의 $x$좌표보다 크므로 점 ${\mathrm{B}}$의 $x$좌표는 점 ${\mathrm{M}}$의 $x$좌표보다 크다. 그러므로 $k = \square {- a + 1}$이다. 점 ${\mathrm{B}}$의 $y$좌표는 $a \left( - a + 1 \right) + a ^{2} + 3 = a + 3$이므로 점 ${\mathrm{B}}$의 $x$좌표와 $y$좌표의 합은 $\left( - a + 1 \right) + \left( a + 3 \right) = \square {4}$이다. 따라서 $p = 3$, $q = 4$이고 $f \left( a \right) = a$, $g \left( a \right) = - a + 1$이므로 $f \left( p \right) \times g \left( q \right) = 3 \times \left( - 4 + 1 \right) = - 9$