대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

ㅍ 모양 타일 수

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 11인 정사각형 모양의 타일로 가로의 길이가 55, 높이가 33, 각 획의 폭이 11이 되도록 ‘ㅍ’ 모양의 도형 F1\mathrm{F} _{1}을 만든다. 도형 F1\mathrm{F} _{1}의 가로의 길이를 22배, 높이를 22배, 각 획의 폭을 22배로 하여 ‘ㅍ’ 모양의 도형 F2\mathrm{F} _{2}를 만든다. 도형 F1\mathrm{F} _{1}의 가로의 길이를 33배, 높이를 33배, 각 획의 폭을 33배로 하여 ‘ㅍ’ 모양의 도형 F3\mathrm{F} _{3}을 만든다. 이와 같이 도형 F1\mathrm{F} _{1}의 가로의 길이를 nn배, 높이를 nn배, 각 획의 폭을 nn배로 하여 ‘ㅍ’ 모양의 도형 Fn\mathrm{F} _{n}을 만든다. 도형 Fn\mathrm{F} _{n}을 만드는 데 사용된 타일의 개수를 ana _{n}이라 할 때, ∑k=1nak=4620\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} {}_{a_{k}} = 4620을 만족시키는 nn의 값은? [4점]

①1010②1111③1212④1313⑤1414

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①

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해설

a1=3×5−3×12=12a _{1} = 3 \times 5 - 3 \times 1 ^{2} = 12 a2=3×5×22−3×22=12⋅22a _{2} = 3 \times 5 \times 2 ^{2} - 3 \times 2 ^{2} = 12 \cdot 2 ^{2} a3=3×5×32−3×32=12⋅32a _{3} = 3 \times 5 \times 3 ^{2} - 3 \times 3 ^{2} = 12 \cdot 3 ^{2} ⋮\vdots an=3×5×n2−3×n2=12⋅n2a _{n} = 3 \times 5 \times n ^{2} - 3 \times n ^{2} = 12 \cdot n ^{2} ∴∑k=1nak=∑k=1n12k2\displaystyle \therefore \sum\limits _{{k} = 1} ^{n} a _{k} = \sum\limits _{{k} = 1} ^{n} 12 k ^{2} =12×n(n+1)(2n+1)6\displaystyle = 12 \times \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} =2n(n+1)(2n+1)=4620= 2 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) = 4620 n(n+1)(2n+1)=2310=10×11×21n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) = 2310 = 10 \times 11 \times 21 ∴n=10\therefore n = 10

태그

#수열의 합#규칙성

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