대수지수와 로그수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

모래시계와 로그표

문제

모래시계는 위쪽과 아래쪽으로 용기가 나누어져 있고, 두 용기 사이는 좁은 구멍으로 연결되어 있다. 모래가 위쪽 용기에 위치하도록 모래시계를 뒤집어 놓으면 중력에 의해 모래가 아래로 떨어진다. 이때, 모래가 유출되는 속도 $v$ 는 아래와 같다. $v = k \rho g ^{- 0.5} A ^{1.25}$ ( $k$ 는 상수, $\rho$ 는 모래의 밀도, $g$ 는 중력가속도, $A$ 는 모래 유출 구멍의 넓이)

$x$	$\log x$
$2.00$	$0.30$
$2.10$	$0.32$
$2.20$	$0.34$
$\vdots$	$\vdots$
$3.53$	$0.55$
$3.63$	$0.56$
$3.73$	$0.57$

모래 유출 구멍의 넓이가 $A _{1}$ 일 때 모래 유출 속도를 $v _{1}$ , 모래 유출 구멍의 넓이가 $A _{2}$ 일 때 모래 유출 속도를 $5 v _{1}$ 이라 하자. 위쪽 로그표를 이용하여 구한 $\displaystyle \frac{A _{2}}{A _{1}}$ 의 값은? (단, 모래의 밀도와 중력가속도는 일정하다고 가정한다.) [4점] ① $2.10$ ② $2.20$ ③ $3.53$ ④ $3.63$ ⑤ $3.73$

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④

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해설

[출제의도] 상용로그를 이용하여 수학외적문제 해결하기 $v _{1} = k \rho g ^{- 0.5} A _{1} ^{1.25}$ ……① $5 v _{1} = k \rho g ^{- 0.5} A _{2} ^{1.25}$ …… ② ② $\div$ ①을 하면 $\displaystyle 5 = \left( \frac{A _{2}}{A _{1}} \right) ^{1.25}$ 이다. 양변에 상용로그를 취하면 $\displaystyle \log 5 = 1.25 \log \frac{A _{2}}{A _{1}}$ 이므로 $\displaystyle \log \frac{A _{2}}{A _{1}} = 0.56 = \log 3.63$ $\displaystyle \therefore \frac{A _{2}}{A _{1}} = 3.63$

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