대수등차수열과 등비수열수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

모래시계 등비수열

문제

모래시계 AA, BB, CC에 들어 있는 모래의 양은 각각 3a3 ^{a}, 9b9 ^{b}, 27c27 ^{c}이고 매 초당 모래가 위에서 아래로 일정하게 떨어지는 양은 각각 a,b,ca , b , c이다. a,b,ca , b , c는 이 순서대로 등비수열을 이루고, 3a,9b,27c3 ^{a} , 9 ^{b} , 27 ^{c}도 이 순서대로 등비수열을 이루며, 두 수열의 공비는 같다. 모래시계 AA, BB, CC로 잴 수 있는 시간(초)을 각각 tA,tB,tCt _{A} , t _{B} , t _{C}라 할 때, tA+tB+tCt _{A} + t _{B} + t _{C}의 값을 구하시오. (단, 모래가 다 떨어진 후 뒤집지 않는다.) [4점]

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27

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해설

수열 a,b,ca , b , c의 공비를 rr이라고 하면 b=ar,c=ar2b = ar , c = ar ^{2} 그러므로 3a,9b,27c3 ^{a} , 9 ^{b} , 27 ^{c}은 3a,9ar,27ar23 ^{a} , 9 ^{ar} , 27 ^{ar ^{2}}이고, 두 수열의 공비가 같으므로 9ar3a=27ar29ar=r\displaystyle \frac{9 ^{ar}}{3 ^{a}} = \frac{27 ^{ar ^{2}}}{9 ^{ar}} = r 즉, 32ar−a=33ar2−2ar=r3 ^{2 ar - a} = 3 ^{3 ar ^{2} - 2 ar} = r … ㉠ 2ar−a=3ar2−2ar2 ar - a = 3 ar ^{2} - 2 ar a(3r2−4r+1)=0a \left( 3 r ^{2} - 4 r + 1 \right) = 0 ∴ r=13\displaystyle r = \frac{1}{3} (∵a>0,r≠1)\left( \because a > 0 , r \ne 1 \right) … ㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면 a=3a = 3 tA=333=9,tB=911=9,tC=271313=9\displaystyle t _{A} = \frac{3 ^{3}}{3} = 9 , t _{B} = \frac{9 ^{1}}{1} = 9 , t _{C} = \frac{27 ^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}} = 9 ∴tA+tB+tC=27\therefore t _{A} + t _{B} + t _{C} = 27

태그

#등비수열#지수

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