몫의 나머지

[출제의도] 항등식의 성질을 이용하여 나머지를 구한다. $x ^{4}$을 $x - 1$로 나눈 몫이 $q ( x )$, 나머지가 $r _{1}$이므로 $x ^{4} = ( x - 1 ) q ( x ) + r _{1}$ $\cdots$　㉠ $q ( x )$를 $x - 4$로 나눈 나머지가 $r _{2}$이므로 몫을 $q _{1} ( x )$라 하면 $q ( x ) = ( x - 4 ) q _{1} ( x ) + r _{2}$ $\cdots$　㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면 $x ^{4} = ( x - 1 ) \left\{ ( x - 4 ) q _{1} ( x ) + r _{2} \right\} + r _{1}$ $\cdots$　㉢ ㉢의 양변에 $x = 4$를 대입하면 $4 ^{4} = 3 \times r _{2} + r _{1}$ 따라서 $r _{1} + 3 r _{2} = 256$ [다른 풀이] $x ^{4}$을 $x - 1$로 나눈 몫이 $q ( x )$이고 나머지가 $r _{1}$이므로 $x ^{4} = \left( x - 1 \right) q ( x ) + r _{1}$ 이 식에 $x = 1$을 대입하면 $r _{1} = 1$ $x ^{4} = \left( x - 1 \right) q ( x ) + 1$에서 $x ^{4} - 1 = ( x - 1 ) ( x ^{3} + x ^{2} + x + 1 )$이 된다. 그러므로 $q ( x ) = x ^{3} + x ^{2} + x + 1$ $q ( x )$를 $x - 4$로 나눈 몫을 $q _{1} ( x )$라 하면 $x ^{3} + x ^{2} + x + 1 = \left( x - 4 \right) q _{1} ( x ) + r _{2}$ 이 식에 $x = 4$를 대입하면 $4 ^{3} + 4 ^{2} + 4 + 1 = ( 4 - 4 ) \times q _{1} ( 4 ) + r _{2}$ 그러므로 $r _{2} = 64 + 16 + 4 + 1 = 85$ 따라서 $r _{1} + 3 r _{2} = 1 + 3 \times 85 = 256$ [다른 풀이] 다항식 $x ^{4}$을 $x - 1$로 나누고 그 몫을 다시 $x - 4$로 나누면

$x ^{4} = ( x - 1 ) ( x ^{3} + x ^{2} + x + 1 ) + 1$ $= ( x - 1 ) \left\{ ( x - 4 ) ( x ^{2} + 5 x + 21 ) + 85 \right\} + 1$ 그러므로 $r _{1} = 1$이고 $r _{2} = 85$ 따라서 $r _{1} + 3 r _{2} = 1 + 3 \times 85 = 256$