공통수학1나머지정리와 인수분해수능 기출기본 문제 (3점 중반)

몫의 나머지

문제

다항식 $x ^{10} + x ^{9} + \cdots + x ^{2} + x + 1$ 을 $x - 1$ 로 나눈 몫을 $f ( x )$ 라고 할 때, $f ( x )$ 를 $x - 2$ 로 나눈 나머지는? [3점] ① $2 ^{10} - 10$ ② $2 ^{10} + 11$ ③ $2 ^{11} - 12$ ④ $2 ^{11} - 10$ ⑤ $2 ^{11} + 11$

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③

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해설

$x ^{10} + x ^{9} + \cdots + x + 1 = ( x - 1 ) f ( x ) + 11$ 이고 $f ( x )$ 를 $x - 2$ 로 나눈 나머지는 $f ( 2 )$ 이다. ∴ $2 ^{10} + 2 ^{9} + \cdots + 2 + 1 = f ( 2 ) + 11$ ∴ $\displaystyle f ( 2 ) = \frac{2 ^{11} - 1}{2 - 1} - 11$ $= 2 ^{11} - 12$

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