몫과 나머지가 같은 수

$n$으로 나누었을 때 몫과 나머지가 같아지는 자연수는 $n + 1 , 2 n + 2 , 3 n + 3 , 4 n + 4 , \cdots , ( n - 1 ) n + ( n - 1 )$의 $n - 1$개다. $\displaystyle a _{n} = \sum\limits _{k=1} ^{n-1} ( kn + k )$$\displaystyle = ( n + 1 ) \sum\limits _{k=1} ^{n-1} k$$\displaystyle = ( n + 1 ) \cdot \frac{( n - 1 ) n}{2}$ $a _{n} > 500$에서 $\displaystyle \frac{( n - 1 ) n ( n + 1 )}{2} > 500$ $( n - 1 ) n ( n + 1 ) > 1000$, $9 \cdot 10 \cdot 11 = 990 < 1000$ $10 \cdot 11 \cdot 12 = 1320 > 1000$이므로 구하는 자연수 $n$의 최솟값은 $11$이다.