몫과 나머지가 같은 식

$P \left( x \right)$를 $x ^{2} - 1$로 나눈 몫과 나머지가 같으므로 그 몫과 나머지를 $Q \left( x \right)$라 하자. $P \left( x \right) = \left( x ^{2} - 1 \right) Q \left( x \right) + Q \left( x \right) = x ^{2} Q \left( x \right)$ $\left( x + 1 \right) P \left( x \right) = \left( x + 1 \right) x ^{2} Q \left( x \right)$에서 $\left( x + 1 \right) P \left( x \right)$가 $x ^{2} - 1 = \left( x + 1 \right) \left( x - 1 \right)$로 나누어떨어지므로 $2 P \left( 1 \right) = 0$ 그러므로 $P \left( x \right)$는 $x - 1$을 인수로 가지고, 최고차항의 계수가 $1$이므로 $Q \left( x \right) = x - 1$ 따라서 $P \left( x \right) = x ^{2} \left( x - 1 \right)$이므로 $P \left( 4 \right) = 48$