몫과 나머지가 같은 삼차식

[출제의도] 항등식의 성질을 이용하여 나머지 정리 문제 해결하기 (나)조건에 의해 $f ( x ) = \left( x - 1 \right) ^{2} ( ax + b ) + \left( ax + b \right) \cdots \text{㉠}$ 라 둘 수 있다. $f ( 1 ) = 2$이므로 $ax + b = a \left( x - 1 \right) + 2$이다. $\text{㉠}$에 대입하여 정리하면 $f ( x ) = \left( x - 1 \right) ^{2} \left\{ a \left( x - 1 \right) + 2 \right\} + a \left( x - 1 \right) + 2$ $= a \left( x - 1 \right) ^{3} + 2 \left( x - 1 \right) ^{2} + a \left( x - 1 \right) + 2$ 이다. 그러므로 $f ( x )$를 $\left( x - 1 \right) ^{3}$으로 나눈 나머지 $R ( x ) = 2 \left( x - 1 \right) ^{2} + a \left( x - 1 \right) + 2$이다. $R ( 0 ) = R ( 3 )$이므로 $2 - a + 2 = 8 + 2 a + 2$ $a = - 2$ 이다. 따라서 $R ( x ) = 2 \left( x - 1 \right) ^{2} - 2 \left( x - 1 \right) + 2$이므로 $R ( 5 ) = 26$이다.