몫과 나머지가 같은 다항식

조건 (가)에 의하여 $f \left( x \right)$를 $x ^{3} - 1$로 나눈 몫과 나머지를 $Q \left( x \right)$라 하면 $Q \left( x \right)$는 차수가 $\mathrm{2}$ 이하인 다항식이다. $f \left( x \right) = \left( x ^{3} - 1 \right) Q \left( x \right) + Q \left( x \right)$ $f \left( x \right)$를 $x - 2$로 나눈 나머지가 $\mathrm{72}$이므로 $f \left( 2 \right) = \left( 8 - 1 \right) Q \left( 2 \right) + Q \left( 2 \right) = 8 Q \left( 2 \right) = 72$ $Q \left( 2 \right) = 9$ $\cdots \cdots$ ㉠ 조건 (나)에 의하여 $f \left( x \right) - x$는 $x ^{2} + x + 1$로 나누어떨어지므로 $f \left( x \right) - x = \left( x - 1 \right) \left( x ^{2} + x + 1 \right) Q \left( x \right) + Q \left( x \right) - x$ $Q \left( x \right) - x = 0$ 또는 $Q \left( x \right) - x = a \left( x ^{2} + x + 1 \right)$ (ⅰ) $Q \left( x \right) - x = 0$인 경우 $Q \left( x \right) = x$ $Q \left( 2 \right) = 2 \ne 9$이므로 ㉠을 만족시키지 않는다. (ⅱ) $Q \left( x \right) - x = a \left( x ^{2} + x + 1 \right)$인 경우 $Q \left( x \right) = a \left( x ^{2} + x + 1 \right) + x$ $Q \left( 2 \right) = a \times \left( 4 + 2 + 1 \right) + 2 = 9$ $7 a = 7$, $a = 1$ $Q \left( x \right) = \left( x ^{2} + x + 1 \right) + x = x ^{2} + 2 x + 1$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $f \left( x \right)$$= \left( x ^{3} - 1 \right) \left( x ^{2} + 2 x + 1 \right) + x ^{2} + 2 x + 1$ $= x ^{3} \left( x + 1 \right) ^{2}$ 따라서 $f \left( 1 \right) = 4$