공통수학1나머지정리와 인수분해AI심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

몫을 다시 나눈 나머지로 이차식 나눗셈의 나머지

문제

다항식 $f ( x )$ 를 $x - 1$ 로 나눈 몫을 $q ( x )$ , 나머지를 $5$ 라 하고, $q ( x )$ 를 $x + 2$ 로 나눈 나머지를 $3$ 이라 하자. $f ( x )$ 를 $( x - 1 ) ( x + 2 )$ 로 나눈 나머지를 $ax + b$ 라 할 때, $ab$ 의 값을 구하시오. (단, $a$ , $b$ 는 상수이다.) [4점]

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해설

$q ( x )$ 를 $x + 2$ 로 나눈 몫을 $p ( x )$ 라 하면 $q ( x ) = ( x + 2 ) p ( x ) + 3$ $f ( x ) = ( x - 1 ) q ( x ) + 5$ 에 대입하면 $f ( x ) = ( x - 1 ) ( x + 2 ) p ( x ) + 3 ( x - 1 ) + 5$ $= ( x - 1 ) ( x + 2 ) p ( x ) + 3 x + 2$ $3 x + 2$ 는 일차식이므로 $f ( x )$ 를 $( x - 1 ) ( x + 2 )$ 로 나눈 나머지는 $3 x + 2$ 이다. $a = 3$ , $b = 2$ 따라서 $ab = 6$ 이다.

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