조건 (가)에서 로그의 진수 조건을 만족시켜야 하므로 ∣k∣−1>0에서 ∣k∣>1이다.
k>1 또는 k<−1이다.
(ⅰ) k>1이면 2k>1이므로 조건 (가)에서
k−1≤8이므로 1<k≤9이다.
조건 (나)에서 로그의 진수 조건을 만족시켜야 하므로 (x−1)(k−x+1)>0, x>0이다. 그러므로 1<x<1+k이다.
log2k{(x−1)(k−x+1)}≤log2k4x에서
−x2+2x+kx−k−1≤4x
x2+(2−k)x+1+k≥0 ⋯⋯ ㉠
방정식 x2+(2−k)x+1+k=0의 판별식을 D라 하면
D=k(k−8)에 대하여
① k≤8이면 D≤0이므로 모든 실수 x가 부등식 ㉠을 만족시키고, x의 범위는 진수 조건 1<x<1+k와 같다. 따라서 k=7이면자연수 x의 개수는 6이므로 조건을 만족시킨다. ② k>8이면 1<k≤9이므로 k=9이다.
k=9이면 x의 범위는 1<x≤2 또는 5≤x<10이 되어 만족시키는 자연수 x는 2, 5, 6, 7, 8, 9이고, 자연수 x의 개수는 6이므로 조건을 만족시킨다.
(ⅱ) k<−1이면 0<2k<1이므로 조건 (가)에서 −1−k≥8에서 k≤−9이다.
조건 (나)의 진수 조건에서 (x−1)(x−1+k)<0, x>0이다. 그러므로 1<x<1−k이다.
조건 (나)에서 x=2를 대입한 결과가 조건 (가)이므로 자연수 2는 부등식 log2k{f(x)−k(x−1)}≤log2k4x를 만족시킨다.
조건 (나)의 부등식에서
−x2+2x−1−k(x−1)≥4x이므로 (x+1)2≤−k(x−1)이다. 방정식 (x+1)2=−k(x−1)의 판별식을 D라 하면 k≤−9에서 D>0이므로 y=(x+1)2의 그래프와 y=−k(x−1)의 그래프는 서로 다른 두 점에서 만난다.
1<x<1−k에서 부등식 (x+1)2≤−k(x−1)을 만족시키는 자연수 x의 개수가 6이므로 k≤−9에서 부등식 (x+1)2≤−k(x−1)을 만족시키는 자연수 x는 2, 3, 4, 5, 6, 7이다.
(7+1)2≤−k(7−1)이고 (8+1)2>−k(8−1)이다.
그러므로 −781<k≤−332이므로 k=−11이다.
(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 조건을 만족시키는 서로 다른 모든 정수 k의 값의 합은 −11+7+9=5이다.