미적분 기본정리 증명

다음은 폐구간 $[ a , b ]$에서 연속인 함수 $f ( x )$에 대하여 $\displaystyle F ( x ) = \int _{a} ^{x} f ( t ) dt$의 어떤 성질을 증명하는 과정이다. (가), (나), (다)에 알맞은 것을 순서대로 적으면? [3점] [증 명] (ⅰ)$h > 0$일 때, $x$와 $x + h$가 개구간 $( a , b )$ 안에 있다면 $F ( x + h ) - F ( x ) =$ (가) 이고 $f ( x )$는 정의된 구간에서 (나) 이므로 적당한 상수 $m , M ( m \leq M )$이 존재하여 $mh \leq$(가) $\leq Mh$이다. 양변을 $h$로 나누고 $h \rightarrow + 0$이면 $m$과 $M$이 같아지므로 $\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow + 0} \frac{F ( x + h ) - F ( x )}{h} = f ( x )$이다. (ⅱ)$h < 0$일 때 (ⅰ)과 동일한 방법으로 $\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow - 0} \frac{F ( x + h ) - F ( x )}{h} = f ( x )$임을 알 수 있다. 그러므로 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 (다) 이다.

①$\displaystyle \int _{x} ^{x + h} f ( t ) dt$, 연속인 함수, $F' ( x ) = f ( x )$②$\displaystyle \int _{x} ^{x + h} f ( t ) dt$, 미분가능한 함수, $F' ( x ) = f ( x )$③$\displaystyle \int _{a} ^{x + h} f ( t ) dt$, 연속인 함수, $F' ( x ) = f ( x )$④$\displaystyle \int _{a} ^{x + h} f ( t ) dt$, 연속인 함수, $F' ( x )$는 $[ a , b ]$에서 연속⑤$\displaystyle \int _{a} ^{x + h} f ( t ) dt$, 미분가능한 함수, $F' ( x )$는 $[ a , b ]$에서 연속